答えと解説

(1) 2点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ を両端とするまっすぐな線は線分 $\mathrm{AB}$ です。両方向に限りなくのびていれば直線 $\mathrm{AB}$、$\mathrm{A}$ を端として $\mathrm{B}$ の方向にだけ限りなくのびていれば半直線 $\mathrm{AB}$ です。「端があるかどうか」で区別します。

(2) $\ell \perp m$ は、2直線 $\ell$ と $m$ が垂直である(交わってできる角が直角である)ことを表します。

(3) $\ell \parallel m$ は、2直線 $\ell$ と $m$ が平行である(どこまでのばしても交わらない)ことを表します。

記号の意味を問う問題は定期テストの最初によく出ます。$\perp$ は「直角に交わる」、$\parallel$ は「交わらない」とセットで覚えましょう。

平行移動は、図形を一定の方向に一定の長さだけずらす移動です。

(1) 移動しても図形の形と大きさは変わらないので、対応する辺の長さは等しく $\mathrm{AB} = \mathrm{DE}$ です。さらに、平行移動では図形の向きも変わらないので、対応する辺は平行になり $\mathrm{AB} \parallel \mathrm{DE}$ です。

(2) 平行移動では、どの点も「同じ方向に、同じ長さだけ」動きます。対応する点を結んだ線分 $\mathrm{AD}$、$\mathrm{BE}$、$\mathrm{CF}$ は、それぞれの点の動きをそのまま表しているので、すべて平行で、長さもすべて等しくなります。

「対応する点を結ぶ線分がすべて平行で等しい」は平行移動だけの特徴です。回転移動や対称移動と見分けるときの決め手になるので、しっかり覚えましょう。

おうぎ形の公式 $\ell = 2\pi r \times \dfrac{a}{360}$、$S = \pi r^2 \times \dfrac{a}{360}$ を使います。中心角の割合は $\dfrac{120}{360} = \dfrac{1}{3}$ です。

弧の長さは

面積は

検算: $S = \dfrac{1}{2}\ell r = \dfrac{1}{2} \times 2\pi \times 3 = 3\pi$ で一致します。まず中心角の割合を約分してから計算すると、ミスが減って速くなります。

半径 $r$ の円の周の長さは $2\pi r$、面積は $\pi r^2$ です。

周の長さは

面積は

小学校では円周率を $3.14$ として計算しましたが、中学からは文字 $\pi$ のまま答えます。$\pi$ は数なので、$5 \times 2 \times \pi = 10\pi$ のように、数を先に計算して $\pi$ を後ろにつけて書くのがふつうです。面積の公式で「半径 $\times$ 半径」を「直径 $\times$ 直径」としないよう注意しましょう。

円の接線には「接線は、接点を通る半径に垂直である」という大切な性質があります。したがって、答えは $\ell \perp \mathrm{OA}$ です。

イメージで確かめてみましょう。もし $\ell$ が $\mathrm{OA}$ に垂直でなく斜めに交わっているとすると、$\ell$ は接点 $\mathrm{A}$ の近くで円の内側に入りこんでしまい、円と2点で交わってしまいます。「ただ1点で交わる(接する)」ためには、垂直でなければならないのです。

この性質のおかげで、円周上の点 $\mathrm{A}$ における接線は「点 $\mathrm{A}$ を通る、半直線 $\mathrm{OA}$ の垂線」として作図できます。接線の問題を見たら、まず接点と中心を結ぶのが定石です。

正方形の対角線は、それぞれの真ん中の点で垂直に交わり、交点 $\mathrm{O}$ から4つの頂点までの距離はすべて等しくなっています。つまり $\mathrm{OA} = \mathrm{OB} = \mathrm{OC} = \mathrm{OD}$ です。

(1) $\triangle \mathrm{ABO}$ を $\triangle \mathrm{CDO}$ に重ねるには、$\mathrm{A} \to \mathrm{C}$、$\mathrm{B} \to \mathrm{D}$、$\mathrm{O} \to \mathrm{O}$ と対応させます。$\mathrm{A}$ と $\mathrm{C}$ は $\mathrm{O}$ について反対側の同じ距離にあり、$\mathrm{B}$ と $\mathrm{D}$ も同じです。したがって、点 $\mathrm{O}$ を中心に $180^\circ$ 回転すればぴったり重なります。$180^\circ$ の回転移動は、特に点対称移動と呼ばれます。

(2) $\triangle \mathrm{ABO}$ を $\triangle \mathrm{BCO}$ に重ねるには、$\mathrm{A} \to \mathrm{B}$、$\mathrm{B} \to \mathrm{C}$、$\mathrm{O} \to \mathrm{O}$ と対応させます。対角線は垂直に交わっているので、$\angle \mathrm{AOB} = 90^\circ$ です。したがって、点 $\mathrm{O}$ を中心に $90^\circ$ 回転すれば重なります。

回転移動の問題では、「動かない点(回転の中心)はどこか」「対応する点と中心を結ぶ角は何度か」の2つを順に確かめるのがコツです。

条件を1つずつ「作図のことば」に翻訳します。

まず「2点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ から等しい距離にある点」は、線分 $\mathrm{AB}$ の垂直二等分線上の点の集まりです。次に「$\ell$ 上にある」という条件を合わせると、求める点 $\mathrm{P}$ は、垂直二等分線と $\ell$ の両方の上にある点、つまり2つの直線の交点です。

作図の手順は次のとおりです。

1. 点 $\mathrm{A}$ を中心として、$\mathrm{AB}$ の半分より大きい半径の円をかく
2. 点 $\mathrm{B}$ を中心として、同じ半径の円をかく
3. 2つの円の交点を通る直線(線分 $\mathrm{AB}$ の垂直二等分線)をひく
4. この直線と $\ell$ との交点が、求める点 $\mathrm{P}$

この点 $\mathrm{P}$ が条件を満たす理由も確認しましょう。$\mathrm{P}$ は垂直二等分線上にあるので $\mathrm{PA} = \mathrm{PB}$、そして $\ell$ 上の点でもあります。作図の応用問題では、「〜から等しい距離」ということばを見たら、垂直二等分線(2点から)か角の二等分線(2辺から)を思い浮かべましょう。

点から直線までの距離は、その点から直線にひいた垂線の長さで測るのでした。$\angle \mathrm{XOY}$ の内部の点のうち、2辺 $\mathrm{OX}$、$\mathrm{OY}$ までの垂線の長さが等しい点の集まりが、ちょうど $\angle \mathrm{XOY}$ の二等分線になります。角の二等分線は、角をぴったり半分に折る折り目にあたるので、折って重なる2辺からの距離が等しくなるのは自然なことです。

作図の手順は次のとおりです。

1. 頂点 $\mathrm{O}$ を中心とする適当な半径の円をかき、辺 $\mathrm{OX}$、$\mathrm{OY}$ との交点をそれぞれ $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ とする
2. $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ をそれぞれ中心として、等しい半径の円をかき、角の内部にできる交点を $\mathrm{P}$ とする
3. 半直線 $\mathrm{OP}$ をひく

この手順が正しい理由は、$\mathrm{OA} = \mathrm{OB}$(手順1の円の半径)かつ $\mathrm{PA} = \mathrm{PB}$(手順2の円の半径)なので、半直線 $\mathrm{OP}$ が角をちょうど半分に分けるからです。テストでは「等しい長さはコンパスの半径からくる」と一言そえると、説明が完全になります。

(1) 中心角を $a^\circ$ とおいて、弧の長さの公式にあてはめます。

左辺を整理すると

両辺を $16\pi$ で割って

よって $a = 360 \times \dfrac{3}{8} = 135$ なので、中心角は $135^\circ$ です。

(2) 面積の公式にあてはめます。

検算: $S = \dfrac{1}{2}\ell r = \dfrac{1}{2} \times 6\pi \times 8 = 24\pi$ で一致します。実は、(1) を飛ばして $S = \dfrac{1}{2}\ell r$ でいきなり面積を求めることもできます。弧の長さと半径がわかっているときは、この公式が最短ルートです。

「全体から一部を引く」という方針で求めます。

正方形の面積は

おうぎ形 $\mathrm{BAC}$ は、中心が $\mathrm{B}$、半径が $10$ cm、中心角が正方形の角 $\angle \mathrm{ABC} = 90^\circ$ なので、その面積は

よって、求める面積は

検算しておきましょう。$\pi$ はおよそ $3.14$ なので $25\pi$ はおよそ $78.5$ cm$^2$、答えはおよそ $100 - 78.5 = 21.5$ cm$^2$ となり、正方形の面積より小さい正の値なので妥当です。$100 - 25\pi$ はこれ以上計算できないので、この形のまま答えます。$\pi$ を含む項と含まない項をまとめようとしないことが大切です。

(1) 円の中心のまわりの角は $360^\circ$ です。中心角 $40^\circ$ のおうぎ形で分けるので

より、$9$ 個できます。

(2) おうぎ形の面積の公式にあてはめます。中心角の割合は $\dfrac{40}{360} = \dfrac{1}{9}$ なので

検算: おうぎ形 $9$ 個の面積の合計は $9 \times 9\pi = 81\pi$ cm$^2$ で、半径 $9$ cm の円の面積 $\pi \times 9^2 = 81\pi$ cm$^2$ とぴったり一致します。「分けたものを全部集めるともとに戻るか」という確かめは、割合の計算ミスを見つける強力な方法です。

(1) 葉っぱの形は、2つのおうぎ形(中心 $\mathrm{A}$ のおうぎ形 $\mathrm{ABD}$ と、中心 $\mathrm{C}$ のおうぎ形 $\mathrm{CBD}$、どちらも中心角 $90^\circ$)が重なった部分です。ここで面積のたし引きを考えます。

おうぎ形 $\mathrm{ABD}$ とおうぎ形 $\mathrm{CBD}$ を合わせると、正方形全体を1回ずつおおったうえで、重なりの部分(葉っぱの形)だけを2回おおうことになります。つまり

が成り立ちます。おうぎ形1つの面積は

正方形の面積は $6 \times 6 = 36$ cm$^2$ です。したがって、葉っぱの面積は

検算: $18\pi$ はおよそ $56.5$ なので、面積はおよそ $20.5$ cm$^2$。正方形($36$ cm$^2$)の半分より少し大きいくらいで、図のイメージと合っています。

(2) まわりは、中心角 $90^\circ$ の弧2本でできています。弧1本の長さは

なので、まわりの長さは

「重なった部分 = 2つの和 − 全体」という考え方は、高校入試の面積問題で何度も使う重要な発想です。

半径も中心角もわからないときは、弧の長さと面積を結ぶ公式 $S = \dfrac{1}{2}\ell r$ を使うのが定石です。

$S = 20\pi$、$\ell = 4\pi$ を代入すると

両辺を $2\pi$ で割って

よって半径は $10$ cm です。

次に中心角を $a^\circ$ とおくと、弧の長さの公式から

よって $a = 360 \times \dfrac{1}{5} = 72$ なので、中心角は $72^\circ$ です。

検算: 半径 $10$ cm、中心角 $72^\circ$ のおうぎ形の面積は $\pi \times 10^2 \times \dfrac{72}{360} = 100\pi \times \dfrac{1}{5} = 20\pi$ cm$^2$ で、問題の条件と一致します。$S = \dfrac{1}{2}\ell r$ は「おうぎ形を細かく切って三角形とみなすと、底辺の合計が $\ell$、高さが $r$」という見方からくる公式で、覚えておくと逆算の問題で大きな武器になります。

(1) 作図の手順は次のとおりです。

1. 点 $\mathrm{A}$ から直線 $\ell$ に垂線をひく($\mathrm{A}$ を中心に $\ell$ と2点で交わる円をかき、その2交点を中心とする等しい半径の円の交点と $\mathrm{A}$ を結ぶ)。垂線と $\ell$ との交点を $\mathrm{H}$ とする
2. 垂線上に、$\ell$ について $\mathrm{A}$ と反対側に $\mathrm{A'H} = \mathrm{AH}$ となる点 $\mathrm{A'}$ をとる(コンパスで $\mathrm{HA}$ の長さを写し取る)。この $\mathrm{A'}$ が、$\mathrm{A}$ を $\ell$ について対称移動した点である
3. 線分 $\mathrm{A'B}$ をひき、$\ell$ との交点を $\mathrm{P}$ とする

(2) なぜこの $\mathrm{P}$ で最短になるのかを考えます。$\mathrm{A'}$ は $\mathrm{A}$ を $\ell$ について対称移動した点なので、$\ell$ は線分 $\mathrm{AA'}$ の垂直二等分線です。垂直二等分線上の点は2点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{A'}$ から等しい距離にあるので、$\ell$ 上のどんな点 $\mathrm{Q}$ をとっても

が成り立ちます。したがって

となり、「$\mathrm{A}$ から $\mathrm{Q}$ を経て $\mathrm{B}$ まで」の道のりは、「$\mathrm{A'}$ から $\mathrm{Q}$ を経て $\mathrm{B}$ まで」の道のりと必ず等しくなります。$\mathrm{A'}$ から $\mathrm{B}$ までの道のりがもっとも短いのは、まっすぐ進むとき、つまり $\mathrm{Q}$ が線分 $\mathrm{A'B}$ 上にあるときです。線分 $\mathrm{A'B}$ と $\ell$ の交点が $\mathrm{P}$ なので、$\mathrm{Q} = \mathrm{P}$ のとき $\mathrm{AP} + \mathrm{PB} = \mathrm{A'B}$ となって最短になります。

「折れ線の最短は、対称移動でまっすぐにのばして考える」という発想は、高校入試で頻出の考え方です。対称移動が単なる図形の移動ではなく、問題を解く道具になる好例です。