比例と反比例

関数の考え方、比例・反比例の式とグラフ、その利用を学びます。

関数と変数・変域

空の水そうに毎分 $3$ L ずつ水を入れると、 $1$ 分後には $3$ L、 $2$ 分後には $6$ L、 $5$ 分後には $15$ L の水がたまります。このように、時間が変わると水の量も変わります。いろいろな値をとる文字を変数といい、この例では時間 $x$ 分と水の量 $y$ L が変数です。

関数とは

ともなって変わる2つの変数 $x$ 、 $y$ があって、 $x$ の値を決めると、それに対応して $y$ の値がただ1つに決まるとき、「 $y$ は $x$ の関数である」といいます。

大切なのは「ただ1つに決まる」という部分です。水そうの例では、 $x = 5$ と決めれば $y = 15$ とただ1つに決まるので、 $y$ は $x$ の関数です。一方、「自然数 $x$ の約数 $y$ 」を考えると、 $x = 6$ のとき $y$ は $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $6$ の4つもあって1つに決まらないので、 $y$ は $x$ の関数ではありません。

例題 1(関数かどうかの判断)

次のうち、 $y$ が $x$ の関数であるものはどれか答えよ。
(ア) $1$ 辺が $x$ cm の正方形の周の長さ $y$ cm
(イ) 身長 $x$ cm の人の体重 $y$ kg

解き方

(ア) 周の長さは $y = 4x$ と表せます。 $x$ の値を決めれば $y$ の値はただ1つに決まるので、 $y$ は $x$ の関数です。

(イ) 身長が同じ $160$ cm でも、体重は人によってさまざまで、 $y$ の値が1つに決まりません。よって $y$ は $x$ の関数ではありません。

答えは (ア) です。「式で表せるかどうか」ではなく、「 $y$ がただ1つに決まるかどうか」で判断するのがポイントです。

変数のとりうる値の範囲を変域といい、不等号を使って表します。たとえば水そうの容量が $30$ L なら、水を入れられるのは $10$ 分までなので、 $x$ の変域は $0 \le x \le 10$ と表せます。

変域の表し方

「 $x$ が $a$ 以上」は $x \ge a$ 、「 $a$ 以下」は $x \le a$ (その数をふくむ)

「 $x$ が $a$ より大きい」は $x > a$ 、「 $a$ 未満( $a$ より小さい)」は $x < a$ (その数をふくまない)

たとえば「 $x$ が $-2$ 以上 $5$ 未満」は $-2 \le x < 5$ と書きます。ふくむ・ふくまないの区別に注意しましょう。

比例

水そうの例の $y = 3x$ のように、 $y$ が $x$ の関数で、 $y = ax$ ( $a$ は $0$ でない定まった数)という式で表されるとき、「 $y$ は $x$ に比例する」といい、 $a$ を比例定数といいます。

小学校では $x$ や $y$ が正の数の場合だけを考えましたが、中学校では負の数もふくめて考えます。たとえば $y = -2x$ で $x = -3$ のとき $y = 6$ となり、これも比例です。

比例の式と性質

$y$ が $x$ に比例するとき

y = ax \quad (a \text{ は比例定数})

・ $x$ の値が $2$ 倍、 $3$ 倍、…になると、 $y$ の値も $2$ 倍、 $3$ 倍、…になる

・ $x \ne 0$ のとき、商 $\dfrac{y}{x}$ の値はつねに一定で、比例定数 $a$ に等しい

例題 2(比例の式を求める)

$y$ は $x$ に比例し、 $x = 4$ のとき $y = -12$ である。 $y$ を $x$ の式で表せ。また、 $x = -3$ のときの $y$ の値を求めよ。

解き方

比例だから、式は $y = ax$ とおけます。 $x = 4$ 、 $y = -12$ を代入すると

-12 = a \times 4

a = -3

よって $y = -3x$ です。

$x = -3$ のときの $y$ の値は

y = -3 \times (-3) = 9

「比例とわかったら $y = ax$ とおき、1組の $x$ 、 $y$ の値を代入して $a$ を求める」のが基本の手順です。

グラフをかくために、点の位置の表し方を確認します。横の数直線を $x$ 軸、縦の数直線を $y$ 軸といい、2つの軸の交点 O を原点といいます。点 A の位置は、 $x$ 軸方向の値 $3$ と $y$ 軸方向の値 $-2$ の組を使って A $(3, \ -2)$ のように表し、これを点 A の座標といいます。順番は必ず( $x$ 座標, $y$ 座標)です。

比例のグラフ

$y = ax$ のグラフは、原点を通る直線になります。

・ $a > 0$ のとき … 右上がりの直線( $x$ が増えると $y$ も増える)

・ $a < 0$ のとき … 右下がりの直線( $x$ が増えると $y$ は減る)

グラフをかくときは、原点と、原点以外の通る点を1つ( $y = 2x$ なら点 $(1, \ 2)$ など)とり、その2点を直線で結びます。

例題 3(グラフから式を求める)

原点を通る直線が点 $(2, \ -8)$ を通っている。この直線をグラフとする式を求めよ。

解き方

原点を通る直線だから、比例のグラフであり、式は $y = ax$ とおけます。

点 $(2, \ -8)$ を通るので、 $x = 2$ 、 $y = -8$ を代入して

-8 = a \times 2

a = -4

よって $y = -4x$ です。比例定数が負なので、右下がりの直線になっていることとも合っています。

反比例

面積が $12 \ \text{cm}^2$ の長方形で、縦の長さを $x$ cm、横の長さを $y$ cm とすると、 $xy = 12$ 、つまり $y = \dfrac{12}{x}$ という関係が成り立ちます。縦を $2$ 倍にすると横は $\dfrac{1}{2}$ 倍になります。

このように、 $y$ が $x$ の関数で、 $y = \dfrac{a}{x}$ ( $a$ は $0$ でない定まった数)という式で表されるとき、「 $y$ は $x$ に反比例する」といい、 $a$ を比例定数といいます。反比例でも「比例定数」とよぶことに注意しましょう。

反比例の式と性質

$y$ が $x$ に反比例するとき

y = \frac{a}{x} \quad (a \text{ は比例定数})

・ $x$ の値が $2$ 倍、 $3$ 倍、…になると、 $y$ の値は $\dfrac{1}{2}$ 倍、 $\dfrac{1}{3}$ 倍、…になる

・積 $xy$ の値はつねに一定で、比例定数 $a$ に等しい( $xy = a$ )

・ $x = 0$ に対応する $y$ の値はない( $0$ でわることはできないため)

例題 4(反比例の式を求める)

$y$ は $x$ に反比例し、 $x = 6$ のとき $y = -4$ である。 $y$ を $x$ の式で表せ。また、 $x = -3$ のときの $y$ の値を求めよ。

解き方

反比例だから、式は $y = \dfrac{a}{x}$ とおけます。反比例では積 $xy$ が比例定数 $a$ に等しいので

a = xy = 6 \times (-4) = -24

よって $y = -\dfrac{24}{x}$ です。

$x = -3$ のときの $y$ の値は

y = -\frac{24}{-3} = 8

比例は「商 $\dfrac{y}{x}$ が一定」、反比例は「積 $xy$ が一定」。この対比で覚えると、式を求めるのが速くなります。

反比例 $y = \dfrac{a}{x}$ のグラフをかくには、通る点をいくつもとって、それらをなめらかな曲線で結びます。たとえば $y = \dfrac{6}{x}$ なら、 $(1, \ 6)$ 、 $(2, \ 3)$ 、 $(3, \ 2)$ 、 $(6, \ 1)$ 、 $(-1, \ -6)$ 、 $(-2, \ -3)$ 、…といった点を通ります。

反比例のグラフ(双曲線)

$y = \dfrac{a}{x}$ のグラフは、双曲線とよばれる、なめらかな2つの曲線になります。

・ $a > 0$ のとき … 右上( $x > 0$ 、 $y > 0$ )と左下( $x < 0$ 、 $y < 0$ )の部分にできる

・ $a < 0$ のとき … 左上( $x < 0$ 、 $y > 0$ )と右下( $x > 0$ 、 $y < 0$ )の部分にできる

・グラフは $x$ 軸にも $y$ 軸にも限りなく近づくが、決して交わらない

グラフが軸と交わらない理由も考えてみましょう。 $y = \dfrac{a}{x}$ で $x = 0$ とすることはできず( $0$ でわれない)、また $a \ne 0$ なので $y = 0$ になることもありません。だから、双曲線は $y$ 軸とも $x$ 軸とも交わらないのです。

比例と反比例の利用

比例と反比例は、身のまわりの問題を解く強力な道具になります。文章題では、次の手順で考えます。

1. ともなって変わる2つの量を見つけ、 $x$ 、 $y$ で表す
2. 比例か反比例か(それ以外か)を判断する
3. 式を作り、比例定数を求める
4. 式を使って、問われている値を求める

比例か反比例かの見分け方

・一方が $2$ 倍、 $3$ 倍になると、もう一方も $2$ 倍、 $3$ 倍になる → 比例( $\dfrac{y}{x}$ が一定)

・一方が $2$ 倍、 $3$ 倍になると、もう一方は $\dfrac{1}{2}$ 倍、 $\dfrac{1}{3}$ 倍になる → 反比例( $xy$ が一定)

「単価×個数=代金」のように積が一定なら反比例、「 $1$ m あたりの重さ」のように割合が一定なら比例、と考えると見分けやすくなります。

例題 5(比例の利用)

同じ種類のくぎがたくさんある。このくぎ $30$ 本の重さをはかったら $72$ g だった。くぎ全体の重さをはかったら $600$ g だったとき、くぎは全部で何本あるか。

解き方

くぎ $x$ 本の重さを $y$ g とすると、くぎ1本の重さは一定なので、 $y$ は $x$ に比例し、 $y = ax$ とおけます。

$x = 30$ のとき $y = 72$ だから

72 = a \times 30

a = \frac{72}{30} = \frac{12}{5}

よって $y = \dfrac{12}{5}x$ です。 $y = 600$ を代入すると

600 = \frac{12}{5}x

両辺に $\dfrac{5}{12}$ をかけて

x = 600 \times \frac{5}{12} = 250

答えは $250$ 本です。全部数えなくても、一部をはかれば全体がわかる。これが比例の考え方の便利なところです。

例題 6(反比例の利用)

毎分 $6$ L ずつ水を入れると $20$ 分でいっぱいになる水そうがある。この水そうを $15$ 分でいっぱいにするには、毎分何 L ずつ水を入れればよいか。

解き方

毎分 $x$ L ずつ入れて $y$ 分でいっぱいになるとします。水そうの容量は

6 \times 20 = 120 \ \text{(L)}

で一定です。「毎分の水量×時間=容量」つまり $xy = 120$ なので、 $y$ は $x$ に反比例し

y = \frac{120}{x}

$y = 15$ を代入すると

15 = \frac{120}{x}

両辺に $x$ をかけて $15x = 120$ 、よって $x = 8$ 。

答えは毎分 $8$ L です。積(容量)が一定だから反比例、と最初に見抜けるかどうかがポイントです。

利用の問題では、変域にも注意しましょう。たとえば時間や長さは負の数になりませんし、水そうには容量の上限があります。式を作ったら、「 $x$ はどの範囲を動けるのか」を確かめる習慣をつけると、グラフをかくときにも正確にかけます。

§1関数と変数・変域

§2比例

§3反比例

§4比例と反比例の利用

関数と変数・変域

比例

反比例

比例と反比例の利用