答えと解説

(1) $1$ 分で $3$ L、$2$ 分で $6$ L、…と、水の量は(毎分の水量)×(時間)で求められます。よって

$x$ の値を決めると $y$ の値がただ1つに決まるので、$y$ は $x$ の関数で、しかも比例です。

(2) 「$-3$ より大きい」は $-3$ をふくまないので不等号は $<$、「$5$ 以下」は $5$ をふくむので $\le$ を使います。よって

「以上・以下」はその数をふくむ($\le$、$\ge$)、「より大きい・未満」はふくまない($<$、$>$)。この区別が変域の問題のポイントです。

(1) $y$ は $x$ に比例するので、$y = ax$ とおけます。$x = 3$、$y = 12$ を代入して

両辺を $3$ でわって

よって $y = 4x$ です。

(2) $y = 4x$ に $x = -2$ を代入して

検算として、比例では商 $\dfrac{y}{x}$ が一定になることを確かめます。$\dfrac{12}{3} = 4$、$\dfrac{-8}{-2} = 4$ で一致しているので正しいとわかります。

(1) $y$ は $x$ に反比例するので、$y = \dfrac{a}{x}$ とおけます。反比例では積 $xy$ が比例定数 $a$ に等しいので

よって $y = \dfrac{12}{x}$ です。

(2) $y = \dfrac{12}{x}$ に $x = -6$ を代入して

検算として積を確かめると、$(-6) \times (-2) = 12$ で比例定数と一致します。反比例は「積が一定」と覚えておくと、代入のかわりに $a = xy$ で一発で比例定数が求められます。

(1) $y = 3x$ に $x = -2$ を代入すると

よって、求める点の座標は $(-2, \ -6)$ です。座標は必ず($x$ 座標, $y$ 座標)の順に書きます。

(2) 点がグラフ上にあるかどうかは、点の $x$ 座標を式に代入して、出てきた $y$ の値が点の $y$ 座標と一致するかで判断します。

$x = 4$ を代入すると

これは点の $y$ 座標 $12$ と一致するので、点 $(4, \ 12)$ はグラフ上にあります。「代入して成り立つ=グラフ上にある」という考え方は、この先ずっと使う大切な判断方法です。

(1) 原点を通る直線は比例のグラフなので、式は $y = ax$ とおけます。点 $(2, \ -6)$ を通るから、$x = 2$、$y = -6$ を代入して

両辺を $2$ でわって

よって $y = -3x$ です。

(2) 比例定数 $a = -3$ は負の数です。$a < 0$ のとき、$x$ が増えると $y$ は減るので、グラフは右下がりの直線になります。

実際、通る点 $(2, \ -6)$ が原点より右下にあることからも、右下がりだと確認できます。

比例定数が $3$ で正なので、$y = 3x$ は $x$ が増えると $y$ も増える関数です。したがって、$x$ が最小のとき $y$ も最小、$x$ が最大のとき $y$ も最大になります。

$x = -2$ のとき

$x = 4$ のとき

よって $y$ の変域は

$x$ の変域の両端がどちらも $\le$($=$ をふくむ)なので、$y$ の変域の両端も $\le$ になります。変域の問題では「両端の値を代入する」だけでなく、「増える関数か減る関数か」を意識すると、次の問題 11 のような場合にもまちがえません。

比例定数 $12$ は正なので、$x > 0$ の範囲では、$y = \dfrac{12}{x}$ は $x$ が増えると $y$ が減る関数です。したがって、$x$ が最小のとき $y$ は最大、$x$ が最大のとき $y$ は最小になります。

$x = 2$ のとき

$x = 6$ のとき

$x = 2$ で最大値 $6$、$x = 6$ で最小値 $2$ をとるので、$y$ の変域は

反比例では、$x$ の最小に $y$ の最大が対応する(大小が入れかわる)ことに注意しましょう。うっかり $6 \le y \le 12$ などとしないよう、両端の値を必ず計算して、どちらが大きいか確かめるのが安全です。

まず、点 P は反比例 $y = \dfrac{18}{x}$ のグラフ上にあるので、$x = 3$ を代入すると

よって P の座標は $(3, \ 6)$ です。

次に、点 P$(3, \ 6)$ は比例 $y = ax$ のグラフ上にもあるので、$x = 3$、$y = 6$ を代入して

検算します。$y = 2x$ に $x = 3$ を入れると $y = 6$、$y = \dfrac{18}{x}$ に $x = 3$ を入れると $y = 6$。どちらのグラフも点 $(3, \ 6)$ を通るので正しいです。

「2つのグラフがともに通る点」の問題は、わかっている方の式に座標を代入して点を確定させ、その点をもう一方の式に代入する、という2段階で解くのが定石です。

(1) かみ合う歯車では、$1$ 秒間に動く歯の数がどちらの歯車でも等しくなります。歯車 A では、$1$ 秒間に

の歯が動きます。歯車 B でも $1$ 秒間に動く歯の数は(歯数)×(回転数)$= xy$ 個なので

よって

積 $xy$ が一定なので、$y$ は $x$ に反比例します。

(2) $y = \dfrac{120}{x}$ に $x = 40$ を代入して

毎秒 $3$ 回転です。歯数が A の $40 \div 24 = \dfrac{5}{3}$ 倍になると、回転数は $\dfrac{3}{5}$ 倍の $5 \times \dfrac{3}{5} = 3$ 回転になる、という反比例の性質とも合っています。

(1) 同じ針金では $1$ m あたりの重さが一定なので、重さ $y$ は長さ $x$ に比例し、$y = ax$ とおけます。$x = 2$ のとき $y = 50$ だから

よって $y = 25x$ です($1$ m あたり $25$ g という意味です)。

(2) $y = 25x$ に $y = 300$ を代入して

両辺を $25$ でわって

答えは $12$ m です。検算すると、$12$ m の重さは $25 \times 12 = 300$ g で問題に合います。長い針金でも、いちいち全部を調べずに、一部の重さから全体の長さを求められるのが比例の利用の便利なところです。

比例定数 $-2$ は負なので、$y = -2x$ は $x$ が増えると $y$ が減る関数(右下がり)です。したがって、$x$ が最小のとき $y$ は最大、$x$ が最大のとき $y$ は最小になります。

$x = -3$ のとき

$x = 1$ のとき

$x = -3$ で最大値 $6$、$x = 1$ で最小値 $-2$ をとるので、$y$ の変域は

比例定数が負のときは、$x$ と $y$ の大小の対応が逆になります。$-6 \le y \le 2$ のように、$x$ の両端の順のまま書いてしまうのがいちばん多いミスです。必ず「小さい値 $\le y \le$ 大きい値」の形になっているか確かめましょう。

(1) 反比例なので $y = \dfrac{a}{x}$ とおけます。点 $(4, \ 3)$ を通るから

よって $y = \dfrac{12}{x}$ です。

(2) 点 P の座標を $(x, \ y)$ とします($x > 0$、$y > 0$)。P から $x$ 軸にひいた垂線、$y$ 軸にひいた垂線と、2つの軸で囲まれる長方形は、横の長さが P の $x$ 座標、縦の長さが P の $y$ 座標に等しくなります。よって

ところで、P は反比例 $y = \dfrac{12}{x}$ のグラフ上の点なので、つねに

が成り立ちます。つまり、P をグラフ上のどこにとっても長方形の面積は $12$ で一定です。

実際に確かめると、P$(4, \ 3)$ なら面積は $4 \times 3 = 12$、P$(2, \ 6)$ なら $2 \times 6 = 12$、P$(6, \ 2)$ なら $6 \times 2 = 12$ で、たしかにどこでも同じです。「反比例のグラフ上の点が作る長方形の面積=比例定数」は、高校入試でもよく出る重要な性質です。

(1) 三角形 ABP は、辺 BP を底辺とみると、長方形の辺 AB と辺 BC は垂直なので、高さは AB $= 6$ cm になります。

P は毎秒 $2$ cm で動くので、$x$ 秒後の BP の長さは

三角形の面積の公式(底辺 × 高さ ÷ 2)より

$y$ は $x$ に比例し、比例定数は $6$ です。

(2) P は B から C まで動きます。BC $= 10$ cm を毎秒 $2$ cm で進むので、かかる時間は

よって $x$ の変域は

$y = 6x$ は $x$ が増えると $y$ も増える関数なので、$x = 0$ のとき最小値 $y = 0$、$x = 5$ のとき最大値 $y = 6 \times 5 = 30$ をとります。よって $y$ の変域は

動く点の問題では、式を求めるだけでなく「点が動ける範囲」から $x$ の変域を確認することが大切です。変域を書き忘れると減点されることが多いので注意しましょう。

(1) 点 A は反比例 $y = \dfrac{12}{x}$ のグラフ上にあり、$x$ 座標が $2$ なので

よって A$(2, \ 6)$ です。点 A は比例 $y = ax$ のグラフ上にもあるので、$x = 2$、$y = 6$ を代入して

(2) もう1つの交点 B を求めます。$y = 3x$ と $y = \dfrac{12}{x}$ の交点では $y$ の値が等しいので

両辺に $x$ をかけて($x \ne 0$)

$2$ 乗して $4$ になる数は $2$ と $-2$ です。$x = 2$ は点 A なので、点 B の $x$ 座標は $x = -2$。このとき

よって B$(-2, \ -6)$ です。

検算として、B が反比例のグラフ上にあるかを確かめると、$\dfrac{12}{-2} = -6$ で一致します。実は、B$(-2, \ -6)$ は A$(2, \ 6)$ の $x$ 座標・$y$ 座標の符号を両方変えた点で、原点について対称の位置にあります。原点を通る直線と双曲線の2つの交点は、いつも原点について対称になる、と覚えておくと計算せずに答えられます。