1次方程式

$x + 3 = 7$ のように、等号「$=$」を使って2つの数量が等しいことを表した式を等式といいます。等式のうち、$x$ の値によって成り立ったり成り立たなかったりするものを方程式といいます。

方程式を成り立たせる文字の値を、その方程式の解といい、解を求めることを「方程式を解く」といいます。たとえば $x + 3 = 7$ に $x = 4$ を代入すると、左辺は $4 + 3 = 7$ となって右辺と等しくなるので、$4$ はこの方程式の解です。$x = 5$ を代入すると左辺は $8$ になり右辺の $7$ と等しくないので、$5$ は解ではありません。

方程式を解くときの土台になるのが、次の等式の性質です。等式は天びんがつり合っている状態にたとえられます。つり合った天びんの両方の皿に同じ重さのものをのせたり、同じ重さのものを取り除いたりしても、つり合いは保たれたままです。等式も同じで、両辺に同じ操作をするかぎり、等しい関係はくずれません。

$x - 5 = 3$ の両辺に $5$ を加えると $x = 3 + 5$ になりました。この結果をよく見ると、左辺にあった $-5$ が、符号が $+5$ に変わって右辺に移ったように見えます。このように、等式の一方の辺にある項を、符号を変えて他方の辺に移すことを移項といいます。

移項は等式の性質1・2を短く言い直したものなので、いつ使っても正しい変形です。移項を使うと、方程式を速く解けるようになります。

かっこをふくむ方程式は、まず分配法則でかっこをはずします。たとえば $2(x - 3) = x + 1$ は、$2x - 6 = x + 1$ としてから移項すれば、$x = 7$ と解けます。

係数に小数をふくむ方程式は、両辺に $10$ や $100$ をかけて、係数を整数に直してから解きます。たとえば $0.3x - 0.5 = 0.1x + 0.7$ は、両辺に $10$ をかけて $3x - 5 = x + 7$ とすれば、$2x = 12$ より $x = 6$ です。

2つの数量 $a$、$b$ の割合を $a : b$ と表したものを比といい、$\dfrac{a}{b}$ をその比の値といいます。たとえば $2 : 3$ の比の値は $\dfrac{2}{3}$ です。

$a : b = c : d$ のように、2つの比が等しいことを表す式を比例式といいます。比例式が成り立つのは、2つの比の値が等しいとき、つまり $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ のときです。この両辺に $bd$ をかけると $ad = bc$ が得られます。つまり、比例式では「外側どうしの積」と「内側どうしの積」が等しくなります。

方程式のいちばんの活躍の場は文章題です。わからない数量を $x$ とおき、問題文の中から「等しい2つの数量」を見つけて方程式を作れば、あとは計算で答えが求められます。算数のようにひらめきに頼らなくてよいのが、方程式の強みです。

速さの文章題では、「道のり $=$ 速さ $\times$ 時間」の関係を使います。追いかける問題では「2人の進んだ道のりが等しい」、出会う問題では「2人の道のりの和が全体の道のりに等しい」というように、等しい数量に注目して方程式を作ります。

また、解が求められても、それで終わりにしてはいけません。たとえば人数を求める問題で解が分数になったら、方程式の立て方か計算のどこかにまちがいがあります。解が問題の場面に適しているかを必ず確かめましょう。