答えと解説

それぞれの値を左辺 $3x - 1$ に代入し、右辺の $5$ と等しくなるかを調べます。

$x = -1$ のとき: $3 \times (-1) - 1 = -3 - 1 = -4$ で、$5$ と等しくない。

$x = 0$ のとき: $3 \times 0 - 1 = 0 - 1 = -1$ で、$5$ と等しくない。

$x = 2$ のとき: $3 \times 2 - 1 = 6 - 1 = 5$ で、右辺と等しい。

よって、解は $2$ です。「解である」とは「代入すると等式が成り立つ」ということ。この確かめ方は、すべての方程式の検算にそのまま使えます。

(1) 左辺を $x$ だけにするため、両辺から $7$ をひきます。

(2) $x$ の係数を $1$ にするため、両辺を $-4$ でわります。

検算します。(1)は $-3 + 7 = 4$ で成立。(2)は $-4 \times (-6) = 24$ で成立。(2)のように負の数でわるときは、答えの符号(負 $\div$ 負 $=$ 正、正 $\div$ 負 $=$ 負)に注意しましょう。

(1) 左辺の $-3$ を、符号を変えて右辺に移項します。

両辺を $5$ でわって

(2) $x$ の項を左辺に、数の項を右辺に移項します。右辺の $x$ は $-x$ となって左辺へ、左辺の $+5$ は $-5$ となって右辺へ。

検算します。(1)は $5 \times 3 - 3 = 12$ で成立。(2)は左辺が $2 \times (-6) + 5 = -7$、右辺が $-6 - 1 = -7$ で一致します。移項では「符号を変える」ことを絶対に忘れないように。

$x$ の項を左辺に、数の項を右辺に集めます。$3x$ を左辺へ、$-4$ を右辺へ移項して

両辺をそれぞれ計算して

両辺を $4$ でわって

検算すると、左辺は $7 \times 3 - 4 = 21 - 4 = 17$、右辺は $3 \times 3 + 8 = 9 + 8 = 17$ で一致します。両辺に $x$ がある方程式は、「$x$ は左、数は右」と機械的に整理するのが確実です。

比例式では、外側の項の積と内側の項の積が等しくなります($a : b = c : d$ ならば $ad = bc$)。

外側の積は $x \times 3 = 3x$、内側の積は $6 \times 5 = 30$ だから

両辺を $3$ でわって

確かめると、$10 : 6$ は両方を $2$ でわると $5 : 3$ になるので、確かに等しい比です。

かっこをふくむ方程式は、まず分配法則でかっこをはずします。

(1) 左辺のかっこをはずして

移項して

(2) $-2(x - 4) = -2x + 8$ です。$-2 \times (-4) = +8$ と、符号に注意してかっこをはずします。

検算します。(1)は左辺 $3 \times (7-2) = 15$、右辺 $7 + 8 = 15$ で一致。(2)は左辺 $5 \times (-2) - 2 \times (-2-4) = -10 + 12 = 2$ で成立。(2)のように、かっこの前が負の数のときの符号ミスが最も多いので、はずした直後に一度見直しましょう。

係数が小数なので、両辺に $10$ をかけて係数を整数に直します。右辺の $1$ にも $10$ をかけるのを忘れないこと。

移項して

両辺を $5$ でわって

検算すると、左辺は $0.7 \times 5 - 1.5 = 3.5 - 1.5 = 2$、右辺は $0.2 \times 5 + 1 = 1 + 1 = 2$ で一致します。「小数の項だけに $10$ をかけて、整数の項にかけ忘れる」のが典型的なミスです。両辺のすべての項にかけましょう。

分母の $3$ と $2$ の最小公倍数 $6$ を両辺にかけて、分母をはらいます。

分配法則でかっこをはずします。$-3 \times (-2) = +6$ に注意して

左辺を整理して

$4$ を移項して

検算すると、左辺は $\dfrac{2 \times 2 - 1}{3} - \dfrac{2-2}{2} = \dfrac{3}{3} - 0 = 1$ で右辺と一致します。分母をはらったら、分子には必ずかっこをつけること。$2 \times 2x - 1$ のようにかっこを忘れると符号や値がくるいます。

「解が $x = 4$」とは、$x = 4$ を代入すると等式が成り立つということです。そこで方程式に $x = 4$ を代入します。

$8$ を移項して

確かめとして $a = 3$ のときの方程式 $2x + 3 = 5x - 9$ を解くと、$-3x = -12$ より $x = 4$ となり、確かに解が $4$ になります。「解を代入すれば成り立つ」という解の定義に立ち返るのが、このタイプの問題の定石です。

りんごを $x$ 個買ったとすると、合わせて $12$ 個なので、みかんは $(12 - x)$ 個と表せます。

りんごの代金は $120x$ 円、みかんの代金は $80(12 - x)$ 円で、合計が $1200$ 円だから

かっこをはずして

$960$ を移項して

りんごは $6$ 個、みかんは $12 - 6 = 6$ 個です。どちらも $0$ 以上 $12$ 以下の整数なので、問題に適しています。検算すると $120 \times 6 + 80 \times 6 = 720 + 480 = 1200$ 円で合っています。「合わせて $12$ 個」から一方を $12 - x$ 個と表すのが、この型の問題のポイントです。

生徒の人数を $x$ 人とし、「鉛筆の総数」を2通りに表します。

4本ずつ配ると 20 本余るので、総数は $4x + 20$ 本。
5本ずつ配ると 6 本足りないので、総数は $5x - 6$ 本。

同じ鉛筆の総数だから

移項して

生徒は $26$ 人。鉛筆は $4 \times 26 + 20 = 104 + 20 = 124$ 本です。

確かめると、$26$ 人に5本ずつ配るには $5 \times 26 = 130$ 本必要で、$124$ 本では $130 - 124 = 6$ 本足りず、問題に合っています。「余る」は足す、「足りない」はひく。ここを逆にすると符号がすべて狂うので、式を立てたら必ず意味を読み直しましょう。

兄が出発してから $x$ 分後に追いつくとします。「道のり $=$ 速さ $\times$ 時間」を使って、2人の進んだ道のりを表します。

兄が進んだ道のり: $210x$ m
弟は兄より 10 分早く出発しているので、歩いた時間は $(x + 10)$ 分。弟が進んだ道のり: $60(x + 10)$ m

追いついた瞬間、2人は家から同じ地点にいるので、進んだ道のりが等しくなります。

かっこをはずして

$60x$ を移項して

よって、兄が出発してから $4$ 分後に追いつきます。追いつく地点は、家から

より $840$ m の地点です。

検算すると、弟は $4 + 10 = 14$ 分歩いて $60 \times 14 = 840$ m 進んでおり、確かに一致します。追いかけの問題は「進んだ道のりが等しい」、ただし「2人の進んだ時間はちがう」という2点を整理できれば、式は自然に立ちます。

長いすの数を $x$ 脚とし、「生徒の人数」を2通りに表します。

6人ずつ座ると4人が座れない(余る)ので、生徒の人数は $6x + 4$ 人。

7人ずつ座る場合は、最後の1脚だけ3人なので、7人ずつ座るいすは $(x - 1)$ 脚。生徒の人数は $7(x - 1) + 3$ 人。

同じ生徒の人数だから

右辺のかっこをはずして

移項して

長いすは $8$ 脚。生徒は $6 \times 8 + 4 = 52$ 人です。

確かめると、7人ずつなら $7$ 脚に $49$ 人が座り、最後の $1$ 脚に $52 - 49 = 3$ 人。確かに問題に合っています。「最後の1脚には3人」のような条件は、$7x -$(足りない数)ではなく「$7(x-1) + 3$」と場面をそのまま式にするのが正確です。ここを雑に処理すると1ずれるので要注意です。

5% の食塩水を $x$ g 混ぜるとすると、合計が $300$ g なので、10% の食塩水は $(300 - x)$ g です。

食塩水の問題では、「ふくまれる食塩の重さ」に注目します。食塩の重さ $=$ 食塩水の重さ $\times \dfrac{\text{濃度}}{100}$ です。

5% の食塩水にふくまれる食塩: $\dfrac{5}{100}x$ g
10% の食塩水にふくまれる食塩: $\dfrac{10}{100}(300 - x)$ g
できあがる 8% の食塩水 300 g にふくまれる食塩: $\dfrac{8}{100} \times 300 = 24$ g

混ぜる前後で食塩の合計の重さは変わらないので

両辺に $100$ をかけて分母をはらいます。

かっこをはずして

$3000$ を移項して

5% の食塩水は $120$ g、10% の食塩水は $300 - 120 = 180$ g です。どちらも $0$ より大きく $300$ より小さいので、問題に適しています。

検算すると、食塩は $120 \times \dfrac{5}{100} = 6$ g と $180 \times \dfrac{10}{100} = 18$ g で合計 $24$ g。$\dfrac{24}{300} \times 100 = 8$ となり、確かに 8% です。混ざっても変わらないのは「食塩の重さ」であって濃度ではない、というのがこの問題の核心です。