いろいろな立体
身のまわりには、箱・缶・ボールなど、いろいろな形の立体があります。この章では、立体を数学の目で分類し、その性質を調べていきます。まずは立体の名前と特徴を整理しましょう。
角柱 … 2つの底面が合同な多角形で平行、側面がすべて長方形の立体。底面の形によって三角柱、四角柱、五角柱、…とよびます。
円柱 … 2つの底面が合同な円で平行な立体。側面は曲面です。
角錐(かくすい) … 底面が多角形で、側面がすべて三角形になっていて、1つの頂点に集まっている立体。三角錐、四角錐、…とよびます。
円錐(えんすい) … 底面が円で、先がとがった立体。側面は曲面です。
角柱や角錐のように、平面だけで囲まれた立体を多面体といいます。面の数によって四面体、五面体、…とよびます。円柱や円錐は曲面をふくむので、多面体ではありません。
角柱・角錐の面・辺・頂点の数は、底面の多角形に注目すると数えられます。丸暗記するのではなく、「底面が2つ(または1つ)+側面」という仕組みから自分で数えられるようにしましょう。
直線と平面の位置関係・回転体
空間の中では、2つの直線の位置関係は平面の上より複雑になります。空間内の2直線には、次の3つの場合があります。
交わる … 2直線が1点を共有する。
平行である … 同じ平面上にあって、交わらない。
ねじれの位置にある … 交わらず、平行でもない。同じ平面上にない2直線の関係です。
直線と平面の位置関係には、「直線が平面上にある」「1点で交わる」「平行である」の3つの場合があります。直線が平面と交わり、その交点を通る平面上のどの直線とも垂直であるとき、直線と平面は垂直であるといいます。また、2つの平面の位置関係は「交わる」か「平行である」かのどちらかです。
次に、面や線を動かしてできる立体を考えます。角柱や円柱は、底面の図形を、それと垂直な方向に一定の距離だけ動かしてできた立体とみることができます。また、長方形や直角三角形などの平面図形を、1つの直線を軸として1回転させてできる立体を回転体といいます。
立体の展開図と投影図
立体を辺にそって切り開いて平面に広げた図を展開図といいます。角柱の展開図は2つの底面と長方形の側面、円柱の展開図は2つの円と1つの長方形になります。円柱の側面の長方形の横の長さは、底面の円周の長さと等しくなります。ここが表面積の計算のカギです。
円錐の展開図は、底面の円と、側面を開いたおうぎ形になります。このおうぎ形の半径は円錐の母線の長さで、おうぎ形の弧の長さは底面の円周と等しくなります。この関係から、おうぎ形の中心角を求めることができます。
立体を真正面から見た図を立面図、真上から見た図を平面図といい、この2つを組み合わせて立体を表した図を投影図といいます。たとえば円柱は、立面図が長方形、平面図が円になります。円錐は、立面図が三角形、平面図が円になります。立面図だけ、平面図だけでは立体が決まらないことがあるので、2つを組にして考えます。
立体の表面積と体積
立体のすべての面の面積の和を表面積、1つの底面の面積を底面積、側面全体の面積を側面積といいます。表面積は展開図で考えるのが基本です。角柱・円柱の側面は1つの長方形にまとめられ、その横の長さは底面の周の長さと等しくなります。