答えと解説: 空間図形 | 中1数学

問 1基本

次の立体の面の数、辺の数、頂点の数をそれぞれ求めなさい。
(1) 六角柱
(2) 四角錐

答え

(1) 面 8つ、辺 18本、頂点 12個
(2) 面 5つ、辺 8本、頂点 5個

解説

底面の形に注目して、仕組みから数えます。

(1) 六角柱は、底面の六角形が上下に2つと、側面の長方形が6つあります。

面の数は $2 + 6 = 8$ で、8つです。

辺は、上の底面に6本、下の底面に6本、側面の立てた辺が6本で、 $6 \times 3 = 18$ より18本です。

頂点は、上下の底面に6個ずつで、 $6 \times 2 = 12$ より12個です。

(2) 四角錐は、底面の四角形が1つと、側面の三角形が4つあります。

面の数は $1 + 4 = 5$ で、5つです。

辺は、底面のまわりに4本と、頂点から底面の各頂点へ向かう辺が4本で、 $4 + 4 = 8$ より8本です。

頂点は、底面に4個と、てっぺんに1個で、 $4 + 1 = 5$ より5個です。

角柱は「底面2つ」、角錐は「底面1つ+てっぺんの頂点」という構造のちがいを意識すると、どんな立体でも数えられます。

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問 2基本

直方体 ABCD-EFGH(四角形 ABCD が上の面、四角形 EFGH が下の面で、頂点 A の真下に E、B の真下に F、C の真下に G、D の真下に H がある)について、次の問いに答えなさい。
(1) 辺 BC と平行な辺をすべて答えなさい。
(2) 辺 BC とねじれの位置にある辺をすべて答えなさい。

答え

(1) 辺 AD、辺 FG、辺 EH
(2) 辺 AE、辺 DH、辺 EF、辺 HG

解説

(1) 辺 BC と同じ向きの辺を探します。上の面では辺 AD、下の面では辺 FG と辺 EH が辺 BC と平行です。よって3本です。

(2) ねじれの位置にある辺は、「交わる辺」と「平行な辺」を除いた残りの辺です。

辺 BC と交わる辺は、頂点 B か C を共有する辺で、辺 AB、辺 DC、辺 BF、辺 CG の4本。

辺 BC と平行な辺は、(1)で求めた3本。

直方体の辺は全部で12本なので、辺 BC 自身と、交わる4本、平行な3本を除くと、 $12 - 1 - 4 - 3 = 4$ より、ねじれの位置にある辺は4本です。それは、辺 AE、辺 DH、辺 EF、辺 HG です。

「全部で12本」から引き算して本数が合うか確かめると、数え落としや重複を防げます。

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問 3基本

底面の半径が 4cm、高さが 6cm の円柱がある。
(1) この円柱の体積を求めなさい。
(2) この円柱の表面積を求めなさい。

答え

(1) $96\pi$ cm³
(2) $80\pi$ cm²

解説

(1) 円柱の体積は $V = Sh$ (底面積 × 高さ)で求めます。底面積は

\pi \times 4^2 = 16\pi \ \text{(cm}^2\text{)}

よって体積は

V = 16\pi \times 6 = 96\pi \ \text{(cm}^3\text{)}

(2) 表面積は展開図で考えます。側面の長方形は、縦が高さの 6cm、横が底面の円周 $2\pi \times 4 = 8\pi$ (cm)なので、側面積は

6 \times 8\pi = 48\pi \ \text{(cm}^2\text{)}

底面の円は上下に2つあるので

16\pi \times 2 = 32\pi \ \text{(cm}^2\text{)}

よって表面積は

48\pi + 32\pi = 80\pi \ \text{(cm}^2\text{)}

「側面の長方形の横=底面の円周」がポイントです。底面を1つしか足し忘れるミスに注意しましょう。

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問 4基本

底面が、直角をはさむ2辺の長さが 3cm と 4cm の直角三角形で、高さが 8cm の三角柱の体積を求めなさい。

答え

48 cm³

解説

角柱の体積は $V = Sh$ (底面積 × 高さ)です。

底面の直角三角形の面積は、直角をはさむ2辺を底辺と高さとみて

S = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \ \text{(cm}^2\text{)}

よって体積は

V = 6 \times 8 = 48 \ \text{(cm}^3\text{)}

三角形の面積の $\dfrac{1}{2}$ を忘れると $96$ cm³ になってしまいます。底面積を先にきちんと求めてから高さを掛ける、という手順を守りましょう。

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問 5基本

半径 3cm の球の体積と表面積を求めなさい。

答え

体積 $36\pi$ cm³、表面積 $36\pi$ cm²

解説

球の公式 $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ 、 $S = 4\pi r^2$ に $r = 3$ を代入します。

体積は

V = \frac{4}{3}\pi \times 3^3 = \frac{4}{3}\pi \times 27 = 36\pi \ \text{(cm}^3\text{)}

表面積は

S = 4\pi \times 3^2 = 4\pi \times 9 = 36\pi \ \text{(cm}^2\text{)}

$r = 3$ のときは数値がどちらも $36\pi$ になりますが、単位は cm³ と cm² でちがいます。体積は $r^3$ (3乗)、表面積は $r^2$ (2乗)と、使う公式を取りちがえないようにしましょう。

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問 6標準

底面の半径が 4cm、母線の長さが 12cm の円錐がある。
(1) 側面の展開図のおうぎ形の中心角を求めなさい。
(2) この円錐の側面積を求めなさい。

答え

(1) $120°$
(2) $48\pi$ cm²

解説

(1) 側面のおうぎ形の弧の長さは、底面の円周と等しくなります。底面の円周は

2\pi \times 4 = 8\pi \ \text{(cm)}

おうぎ形の半径は母線の 12cm なので、半径 12cm の円の円周は $2\pi \times 12 = 24\pi$ (cm)。おうぎ形は円全体の

\frac{8\pi}{24\pi} = \frac{1}{3}

にあたるので、中心角は

360° \times \frac{1}{3} = 120°

公式 $a = 360 \times \dfrac{r}{R} = 360 \times \dfrac{4}{12} = 120$ でも確かめられます。

(2) 側面積は「 $\pi \times$ 母線 $\times$ 底面の半径」で求められます。

\pi \times 12 \times 4 = 48\pi \ \text{(cm}^2\text{)}

おうぎ形の面積として、半径 12cm の円の面積の $\dfrac{1}{3}$ と考えても

\pi \times 12^2 \times \frac{1}{3} = 144\pi \times \frac{1}{3} = 48\pi \ \text{(cm}^2\text{)}

と一致します。2通りの方法で計算が合うことを確かめると安心です。

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問 7標準

底面の半径が 6cm、高さが 8cm、母線の長さが 10cm の円錐の体積と表面積を求めなさい。

答え

体積 $96\pi$ cm³、表面積 $96\pi$ cm²

解説

体積は、円錐なので柱の $\dfrac{1}{3}$ です。底面積は

\pi \times 6^2 = 36\pi \ \text{(cm}^2\text{)}

よって体積は

V = \frac{1}{3} \times 36\pi \times 8 = \frac{288\pi}{3} = 96\pi \ \text{(cm}^3\text{)}

表面積は、底面積と側面積の和です。側面積は「 $\pi \times$ 母線 $\times$ 底面の半径」で

\pi \times 10 \times 6 = 60\pi \ \text{(cm}^2\text{)}

よって表面積は

36\pi + 60\pi = 96\pi \ \text{(cm}^2\text{)}

体積の計算には高さ 8cm を、側面積の計算には母線 10cm を使います。どちらの長さをどこで使うかを意識するのが、円錐の計算で最も大切なポイントです。

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問 8標準

$\angle C = 90°$ 、 $AC = 4$ cm、 $BC = 3$ cm の直角三角形 ABC を、辺 AC を軸として1回転させてできる立体について、次の問いに答えなさい。
(1) この立体の体積を求めなさい。
(2) $AB = 5$ cm であるとき、この立体の表面積を求めなさい。

答え

(1) $12\pi$ cm³
(2) $24\pi$ cm²

解説

直角三角形を、直角をはさむ辺 AC を軸として1回転させると、円錐ができます。辺 BC が回転して底面の円をつくるので、底面の半径は $BC = 3$ cm、高さは軸の長さ $AC = 4$ cm、母線は斜辺 $AB = 5$ cm です。

(1) 底面積は $\pi \times 3^2 = 9\pi$ (cm²)なので、体積は

V = \frac{1}{3} \times 9\pi \times 4 = 12\pi \ \text{(cm}^3\text{)}

(2) 側面積は「 $\pi \times$ 母線 $\times$ 底面の半径」で

\pi \times 5 \times 3 = 15\pi \ \text{(cm}^2\text{)}

底面積 $9\pi$ cm² と合わせて、表面積は

9\pi + 15\pi = 24\pi \ \text{(cm}^2\text{)}

回転体の問題では、まず「どの辺が半径になり、どの辺が高さ(軸)になり、どの辺が母線になるか」を図をかいて確認してから計算を始めましょう。

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問 9標準

底面が1辺 6cm の正方形で、側面がすべて合同な二等辺三角形である正四角錐がある。側面の二等辺三角形の、底辺を 6cm とみたときの高さは 5cm である。この正四角錐の表面積を求めなさい。

答え

96 cm²

解説

表面積は、底面積と側面積の和です。

底面は1辺 6cm の正方形なので

6 \times 6 = 36 \ \text{(cm}^2\text{)}

側面は、底辺 6cm、高さ 5cm の二等辺三角形が4つです。三角形1つの面積は

\frac{1}{2} \times 6 \times 5 = 15 \ \text{(cm}^2\text{)}

4つ分で

15 \times 4 = 60 \ \text{(cm}^2\text{)}

よって表面積は

36 + 60 = 96 \ \text{(cm}^2\text{)}

ここで使った 5cm は「側面の三角形の高さ」であって、「正四角錐(立体)の高さ」ではありません。表面積では側面の三角形の高さを、体積では立体の高さを使う、という区別をしっかりつけましょう。

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問 10標準

半径 6cm の球を、中心を通る平面で半分に切ってできる半球の体積と表面積を求めなさい。

答え

体積 $144\pi$ cm³、表面積 $108\pi$ cm²

解説

体積は、球の体積のちょうど半分です。半径 6cm の球の体積は

\frac{4}{3}\pi \times 6^3 = \frac{4}{3}\pi \times 216 = 288\pi \ \text{(cm}^3\text{)}

なので、半球の体積は

288\pi \times \frac{1}{2} = 144\pi \ \text{(cm}^3\text{)}

表面積は注意が必要です。半球の表面は、丸い曲面の部分と、切り口の円の部分の2つからできています。

曲面の部分は、球の表面積 $4\pi \times 6^2 = 144\pi$ (cm²)の半分で

144\pi \times \frac{1}{2} = 72\pi \ \text{(cm}^2\text{)}

切り口は半径 6cm の円なので

\pi \times 6^2 = 36\pi \ \text{(cm}^2\text{)}

よって表面積は

72\pi + 36\pi = 108\pi \ \text{(cm}^2\text{)}

「表面積も球の半分」としてしまうと、切り口の円を忘れてしまいます。切ってできた平らな面も表面にふくまれることを忘れないようにしましょう。

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問 11標準

空間内の直線や平面について、次のア〜エのうち、つねに正しいものをすべて選びなさい。
ア交わらない2つの直線は平行である。
イ 1つの直線に平行な2つの直線は平行である。
ウ 1つの直線に垂直な2つの直線は平行である。
エ 1つの平面に垂直な2つの直線は平行である。

答え

イ、エ

解説

直方体 ABCD-EFGH(ABCD が上の面、EFGH が下の面、A の真下に E)を思いうかべて、1つずつ確かめます。

ア正しくありません。空間では、交わらない2直線には「平行」のほかに「ねじれの位置」があります。たとえば辺 AB と辺 CG は交わりませんが、平行でもありません。

イ正しいです。直線 $\ell$ に $m$ も $n$ も平行なら、 $m$ と $n$ は同じ向きなので平行です。たとえば辺 AB に平行な辺 EF と辺 HG は、たがいに平行です。

ウ正しくありません。平面上では正しいのですが、空間ではちがいます。たとえば辺 AE は、辺 AB とも辺 AD とも垂直ですが、辺 AB と辺 AD は平行ではなく交わっています。

エ正しいです。1つの平面に垂直な直線は、その平面から同じ向きにまっすぐ立っているので、2本ともたがいに平行になります。たとえば面 EFGH に垂直な辺 AE と辺 BF は平行です。

「平面の常識が空間では成り立たないことがある」のがこの単元のポイントです。正しくないと思ったら、直方体の辺や面で反例(成り立たない例)を1つ見つけましょう。

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問 12発展

ある円錐の側面の展開図は、半径が 8cm、中心角が $135°$ のおうぎ形である。
(1) この円錐の底面の半径を求めなさい。
(2) この円錐の表面積を求めなさい。

答え

(1) 3cm
(2) $33\pi$ cm²

解説

(1) 側面のおうぎ形の弧の長さは、底面の円周と等しくなります。半径 8cm、中心角 $135°$ のおうぎ形の弧の長さは

2\pi \times 8 \times \frac{135}{360} = 16\pi \times \frac{3}{8} = 6\pi \ \text{(cm)}

底面の半径を $r$ cm とすると、底面の円周は $2\pi r$ cm なので

2\pi r = 6\pi

r = 3

よって底面の半径は 3cm です。公式 $a = 360 \times \dfrac{r}{R}$ に当てはめて $135 = 360 \times \dfrac{3}{8}$ が成り立つことからも確かめられます。

(2) 側面積は、おうぎ形の面積なので

\pi \times 8^2 \times \frac{135}{360} = 64\pi \times \frac{3}{8} = 24\pi \ \text{(cm}^2\text{)}

(「 $\pi \times$ 母線 $\times$ 底面の半径」 $= \pi \times 8 \times 3 = 24\pi$ でも同じ答えになります。)

底面積は $\pi \times 3^2 = 9\pi$ (cm²)なので、表面積は

24\pi + 9\pi = 33\pi \ \text{(cm}^2\text{)}

展開図から立体を復元する問題では、「弧の長さ=底面の円周」の関係が出発点です。この等式さえ立てられれば、あとは計算だけです。

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問 13発展

$AD = 2$ cm、 $BC = 4$ cm、 $AB = 3$ cm、 $\angle A = \angle B = 90°$ の台形 ABCD(辺 AD と辺 BC が平行)を、辺 AB を軸として1回転させてできる立体の体積を求めなさい。

答え

$28\pi$ cm³

解説

辺 AB を軸に台形を1回転させると、上の面が半径 2cm の円、下の面が半径 4cm の円になった、円錐の上部を切り取った形の立体(円錐台)ができます。この立体は、「大きい円錐から小さい円錐を切り取ったもの」と考えて体積を求めます。

辺 DC を D の方へ延長すると、軸(辺 AB の延長)と1点で交わります。この点を O とすると、大きい円錐は O を頂点とし底面の半径が $BC = 4$ cm の円錐、小さい円錐は O を頂点とし底面の半径が $AD = 2$ cm の円錐です。

O から下の底面までの高さを求めます。半径が 4cm から 2cm へと、3cm 上がるごとに 2cm 減る割合で細くなっていくので、半径が 2cm から 0cm になるまでにはさらに 3cm かかります。つまり、小さい円錐の高さは 3cm、大きい円錐の高さは $3 + 3 = 6$ (cm)です。(A の位置の半径 2cm は B の位置の半径 4cm のちょうど半分なので、O から A までの高さは O から B までの高さの半分、と相似な三角形の関係から考えることもできます。)

大きい円錐の体積は

\frac{1}{3} \times \pi \times 4^2 \times 6 = \frac{1}{3} \times 16\pi \times 6 = 32\pi \ \text{(cm}^3\text{)}

小さい円錐の体積は

\frac{1}{3} \times \pi \times 2^2 \times 3 = \frac{1}{3} \times 4\pi \times 3 = 4\pi \ \text{(cm}^3\text{)}

よって求める立体の体積は

32\pi - 4\pi = 28\pi \ \text{(cm}^3\text{)}

回転体の問題では、まず回転の軸をふくむ平面での切り口(断面)をかいて、どんな立体になるかを確かめること。そして「足りない部分を補って引く」という発想が、円錐台タイプの定石です。

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問 14発展

半径 3cm の球が、円柱の容器にすきまなくぴったり入っている。つまり、球は円柱の側面と上下の底面のすべてに接している。
(1) この円柱の体積を求めなさい。
(2) 球の体積は、円柱の体積の何倍か求めなさい。

答え

(1) $54\pi$ cm³
(2) $\dfrac{2}{3}$ 倍

解説

(1) 球が円柱の側面にぴったり接しているので、円柱の底面の半径は球の半径と同じ 3cm です。また、球が上下の底面にも接しているので、円柱の高さは球の直径と同じ $3 \times 2 = 6$ (cm)です。

よって円柱の体積は

\pi \times 3^2 \times 6 = 9\pi \times 6 = 54\pi \ \text{(cm}^3\text{)}

(2) 球の体積は

\frac{4}{3}\pi \times 3^3 = \frac{4}{3}\pi \times 27 = 36\pi \ \text{(cm}^3\text{)}

よって、球の体積は円柱の体積の

\frac{36\pi}{54\pi} = \frac{36}{54} = \frac{2}{3}

すなわち $\dfrac{2}{3}$ 倍です。

この「球の体積は、ぴったり入る円柱の $\dfrac{2}{3}$ 」という関係は、半径によらずつねに成り立ちます。実際、半径 $r$ で計算すると、円柱は $\pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3$ 、球は $\dfrac{4}{3}\pi r^3$ となり、比はいつでも $\dfrac{2}{3}$ です。この関係を発見した古代ギリシャの数学者アルキメデスは、この図を自分の墓石に刻ませたと伝えられています。

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