文字と式

1本 $80$ 円の鉛筆を $3$ 本買えば代金は $80 \times 3$ 円、$5$ 本なら $80 \times 5$ 円です。では「何本買うかまだ決まっていない」ときはどう表せばよいでしょうか。本数を文字 $x$ で表せば、代金は $80 \times x$ 円と、どんな本数の場合もまとめて1つの式で表せます。このように、いろいろな値をとる数量を文字で表すのが、この章のスタートです。

文字を使った式では、記号 $\times$ や $\div$ を省略して、次のルールで簡潔に書く約束になっています。

なぜ $x \times 3$ を $3x$ と書くのでしょうか。$x3$ と書くと「エックス3」なのか「エックスの3乗?」なのか読みまちがえやすいからです。「数が先、文字が後」「文字はふつうアルファベット順」とそろえることで、誰が読んでも同じ意味に伝わる式になります。

また、$(x+y) \div 2$ のように、和や差を割るときは $\dfrac{x+y}{2}$ と書きます。$x + \dfrac{y}{2}$ とは別の式なので、かっこのついたまとまりを分子にのせることに注意しましょう。

次に、身のまわりの数量を文字式で表す練習です。ことばの式(たとえば「代金 = 単価 $\times$ 個数」)にあてはめて考えるのがコツです。

文字式の文字を数におきかえることを代入といい、代入して計算した結果を式の値といいます。たとえば $80x$ 円の $x$ に $3$ を代入すれば $80 \times 3 = 240$ 円と、具体的な場面の答えが求められます。文字式は「いつでも使える計算の型」で、代入はその型に実際の数をあてはめる操作だと考えましょう。

式 $2x - 5$ は、$2x + (-5)$ という和の形とみることができます。このときの $2x$ と $-5$ を、この式の項といいます。$2x$ のように文字が1つだけ掛けられている項を1次の項といい、その数の部分 $2$ を $x$ の係数といいます。1次の項と数の項だけでできた式が1次式です。

$3x + 5x$ のように文字の部分が同じ項は、1つの項にまとめることができます。$x$ が $3$ 個と $x$ が $5$ 個で合わせて $x$ が $8$ 個、と考えれば $3x + 5x = 8x$ です。これは分配法則 $mx + nx = (m+n)x$ を使っていることにほかなりません。

次に、1次式と数の乗法・除法です。$3(2x - 5)$ のような計算は、分配法則を使ってかっこの中のすべての項に掛けます。

除法は、分数の形にするか、わる数の逆数を掛けて計算します。たとえば

のように、すべての項を割ることに注意します。$8x$ だけ割って $-6$ を割り忘れる、というミスがとても多いところです。

文字式を使うと、数量そのものだけでなく、数量の間の関係も式で表せます。

等しい関係は、等号 $=$ を使った等式で表します。たとえば「1個 $a$ 円のりんご $3$ 個の代金は $600$ 円だった」という関係は $3a = 600$ と書けます。等号の左側の式を左辺、右側の式を右辺、あわせて両辺といいます。

大小の関係は、不等号を使った不等式で表します。「$x$ は $5$ 以上」は $x \ge 5$、「$x$ は $5$ 以下」は $x \le 5$、「$x$ は $5$ より大きい」は $x > 5$、「$x$ は $5$ 未満($5$ より小さい)」は $x < 5$ です。

「以上・以下」はその数をふくみ、「より大きい・未満」はその数をふくみません。この違いで不等号の種類が変わるので、問題文のことばを正確に読み取ることが大切です。