答えと解説

積・商の表し方のルールにしたがって書き直します。

(1) $\times$ を省略し、数を文字の前に書いて

(2) 同じ文字 $x$ の積は累乗の指数を使って $x \times x = x^2$。よって

(3) $\div$ は使わず分数の形にして

(4) $x + y$ をひとまとまりとして分子にのせます。

(4) を $x + \dfrac{y}{2}$ としてしまうのがよくあるミスです。かっこがついた式全体を割っていることに注意しましょう。

(1) 代金 = 単価 $\times$ 本数 のことばの式にあてはめます。

(2) 時間 = 道のり $\div$ 速さ です。道のりが $x$ km、速さが時速 $4$ km なので

速さの3つの関係「道のり = 速さ $\times$ 時間」「速さ = 道のり $\div$ 時間」「時間 = 道のり $\div$ 速さ」は、この先の方程式の文章題でも使い続けます。どれか1つ(道のり = 速さ $\times$ 時間)を覚えて、そこから他の2つを導けるようにしておきましょう。

負の数を代入するときは、必ずかっこをつけます。

(1) $2x = 2 \times x$ なので

(2) $x^2 = x \times x$ なので

(3) $-x^2$ は $-(x \times x)$、つまり $x^2$ 全体にマイナスをつけたものです。

(2) と (3) の区別がこの問題の核心です。$(-3)^2 = 9$ と $-3^2 = -9$ は別もの、と代入の前に式の意味を確認しましょう。

文字の部分が同じ項は、$mx + nx = (m+n)x$ で係数どうしをまとめます。

(1) 係数 $3$ と $5$ をたして

(2) 文字の項どうし、数の項どうしを並べかえてからまとめます。

$3a + 4$ を $7a$ のようにさらにまとめることはできません。文字の項と数の項は種類が違うので、そのまま残すのが正解です。

(1) 分配法則で、かっこの中のすべての項に $4$ を掛けます。

(2) すべての項を $3$ で割ります。

(2) で $6x$ だけを割って $2x - 9$ とするのが典型的なミスです。検算として、答えに $3$ を掛けて元に戻るか確かめましょう。$3(2x-3) = 6x - 9$ で確かに元に戻ります。

(1) 2けたの自然数は「十の位の数字 $\times 10 +$ 一の位の数字」で表されます。たとえば $47 = 4 \times 10 + 7$ です。よって

$ab$ と書いてはいけません。$ab$ は $a \times b$ という積の意味になってしまいます($a=4$、$b=7$ なら $ab = 28$ で、$47$ になりません)。

(2) $2$ 割は $\dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}$ なので、割引き額は $\dfrac{1}{5}x$ 円。値段は定価から割引き額をひいて

「$2$ 割引き」は「定価の $8$ 割($\dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5}$)を払う」と読みかえて、直接 $\dfrac{4}{5}x$ としても同じ答えになります。両方の考え方で一致するか確かめると検算になります。

(1) たすときは、そのままかっこを外して同じ種類の項をまとめます。

(2) ひくときは、後ろのかっこの中の各項の符号を変えて外します。$-(6x - 5) = -6x + 5$ なので

(2) で $-5$ の符号を変え忘れて $4x - 1 - 6x - 5 = -2x - 6$ とするのが最も多いミスです。「マイナスのかっこ外しは、中の符号を全部反転」を徹底しましょう。

まず分配法則でそれぞれのかっこを外します。

$-3$ を掛けるときは、$x$ にも $-2$ にも掛けます。$(-3) \times (-2) = +6$ と符号が変わることに注意。あわせて

検算として $x = 1$ を代入してみると、元の式は $2 \times 2 - 3 \times (-1) = 4 + 3 = 7$、答えの式は $3 + 4 = 7$ で一致します。文字式の計算は、適当な数を代入して両方の式の値が一致するかで確かめられます。

分母の $2$ と $3$ の最小公倍数 $6$ で通分します。

分子どうしをたして

通分するとき、$\dfrac{2x-1}{3}$ の分子は $2x - 1$ 全体なので、$2$ 倍するときはかっこをつけて $2(2x-1) = 4x - 2$ とします。$4x - 1$ としてしまう(後ろの $-1$ に掛け忘れる)のが頻出ミスです。方程式と違って「分母をはらう」ことはできず、通分したまま計算することにも注意しましょう。

負の分数を代入するので、かっこをつけて1つずつ計算します。

まず $a^2$ の値は

よって

次に

したがって

$-6a$ の計算は「マイナス $\times$ マイナスでプラス」になるところです。項ごとに分けて計算し、最後に符号をよく確かめてからたし合わせると、ミスを防げます。

(1) ケーキの代金は $4a$ 円、箱代とあわせた合計は $4a + b$ 円。「$2000$ 円以下」は $2000$ 円をふくむので、不等号は $\le$ を使って

「以下」なのに $<$ を使ってしまうミスに注意。「以上・以下」はその数をふくむ($\ge$、$\le$)、「より大きい・未満」はふくまない($>$、$<$)、と整理して覚えましょう。

(2) 割り算の関係は「割られる数 = 割る数 $\times$ 商 $+$ 余り」で等式にできます。

たとえば $23 \div 4$ は商 $5$ 余り $3$ で、$23 = 4 \times 5 + 3$ が成り立ちます。具体的な数で式の形を確かめてから文字にすると、安心して立式できます。

分母の $4$ と $6$ の最小公倍数 $12$ で通分します。

分子を1つにまとめます。後ろの分数をひくので、分子全体にかっこをつけて

分子を計算します。

よって分子は

したがって

ひき算の通分では、$-2(x-3)$ の後ろの項が $(-2) \times (-3) = +6$ になるところが最大の注意点です。検算に $x = 2$ を代入すると、元の式は $\dfrac{4}{4} - \dfrac{-1}{6} = 1 + \dfrac{1}{6} = \dfrac{7}{6}$、答えは $\dfrac{14}{12} = \dfrac{7}{6}$ で一致します。

(1) 単純に「1辺 $n$ 個が $4$ 辺分」で $4n$ 個と数えると、正方形の4すみの碁石は、となり合う2つの辺の両方に属しているため、それぞれ2回ずつ数えられてしまいます。重複した $4$ 個をひいて

別の数え方もあります。各辺から片方のすみの碁石を除いた $n - 1$ 個ずつのまとまりを考えると、重なりなく周全体をちょうどおおえるので

分配法則で $4(n-1) = 4n - 4$ となり、2つの数え方の結果は一致します。数え方を変えても同じ式になることを確かめるのが、この種の問題の検算法です。念のため小さい場合で確認すると、$n = 2$ のときは $2 \times 2$ の正方形で碁石は $4$ 個、式でも $4 \times 2 - 4 = 4$ 個で一致します。

(2) (1) の式に $n = 25$ を代入して

いきなり代入せず、まず $A$、$B$ のままで式を簡単にするのが定石です。分配法則でかっこを外して

ここで $A = 2x - 3$、$B = -x + 5$ を代入します。式を代入するときは、必ずかっこをつけます。

それぞれのかっこを外すと

あわせて

先に式を整理してから代入すると、代入の回数が減って計算がずっと楽になります。検算に $x = 1$ を入れると、$A = -1$、$B = 4$ で、元の式は $2 \times (-1) - 3 \times (-1 - 4) = -2 + 15 = 13$、答えの式は $-5 + 18 = 13$ で一致します。