正負の数

「気温が $0$ ℃より $3$ ℃低い」「海面より $200$ m 低い土地」のように、$0$ より小さい量を表すには、これまでの数だけでは足りません。そこで、$0$ より小さい数を $-3$(マイナス3)のように「$-$」の符号をつけて表します。このような数を負の数といい、$0$ より大きい数を正の数といいます。正の数は $+5$ のように「$+$」をつけて表すこともあります。

$0$ は正の数でも負の数でもない、ちょうど境目の数です。また、整数は「負の整数、$0$、正の整数(自然数)」の3つに分けられます。

正負の数は、数直線の上に表すと様子がよくわかります。数直線では、$0$(原点)の右側に正の数、左側に負の数が並び、右にある数ほど大きい数です。

たとえば $-5$ は $-3$ より左にあるので、$-5 < -3$ です。「$5$ のほうが $3$ より大きいから $-5$ のほうが大きい」と考えてしまうミスがとても多いので、迷ったら必ず数直線を思いうかべましょう。

正負の数のたし算(加法)は、数直線の上の移動で考えるとしくみがわかります。正の数をたすことは右への移動、負の数をたすことは左への移動です。たとえば $(-2) + (-3)$ は、$-2$ から左へ $3$ 進むので $-5$ になります。この考え方を整理すると、次のルールにまとまります。

ひき算(減法)は、新しく計算方法を覚える必要はありません。ひく数の符号を変えて、加法に直せばよいのです。

なぜこうしてよいのでしょうか。「$-3$ をひく」とは「$3$ 少ない状態との差を求める」ことで、数直線では左へ進む操作の逆、つまり右へ $3$ 進むことになるからです。「ひくことは、符号を変えてたすことと同じ」と覚えましょう。

加法と減法が混じった式は、すべて加法に直すと、$(+7) + (-3) + (-4)$ のように加法だけの式になります。このとき $+7$、$-3$、$-4$ をこの式の項といいます。かっこと加法の記号を省いて

と書き、正の項どうし・負の項どうしをまとめて計算すると速くて確実です。

かけ算(乗法)の符号のルールを考えてみましょう。$(+3) \times (-2)$ は「$-2$ を $3$ 個集める」ことなので $(-2) + (-2) + (-2) = -6$ です。では $(-3) \times (-2)$ はどうなるでしょうか。$3 \times (-2) = -6$、$2 \times (-2) = -4$、$1 \times (-2) = -2$、$0 \times (-2) = 0$ と、かける数が $1$ 減るごとに答えは $2$ ずつ増えています。この規則が続くと考えると、$(-1) \times (-2) = +2$、$(-2) \times (-2) = +4$ となり、「負 $\times$ 負 = 正」が自然に導かれます。

同じ数をいくつかかけ合わせたものを累乗といい、$(-3) \times (-3)$ は $(-3)^2$ と書きます。右上の小さい数(指数)は、かけ合わせた個数を表します。

ここで注意したいのが $(-3)^2$ と $-3^2$ のちがいです。

$-3^2$ は「$3^2$ に $-$ をつけたもの」で、2乗されるのは $3$ だけです。かっこがどこまでかかっているかを必ず確認しましょう。

わり算(除法)は、わる数の逆数をかける乗法に直すことができます。逆数とは、かけて $1$ になる数のことで、$-\dfrac{3}{4}$ の逆数は $-\dfrac{4}{3}$ です(符号はそのまま、分母と分子を入れかえる)。

分数のわり算が出てきたら、逆数のかけ算に直すのが基本です。

加減乗除の4つの計算をまとめて四則といいます。四則やかっこ、累乗が混じった式は、計算する順番が決まっています。順番をまちがえると答えが変わってしまうので、次の順序を必ず守りましょう。

正負の数は、計算のくふうだけでなく、身のまわりの量を表すのにも役立ちます。代表的なのが平均の計算です。基準の値を決めて、それより大きい分を $+$、小さい分を $-$ で表すと、

として求められます。大きな数をそのまま全部たすより、ずっと計算が楽になります。