答えと解説

負の数どうしは「絶対値が大きいほど小さい」というルールで比べます。

(1) 絶対値を比べると $4 < 7$ です。負の数では絶対値が大きい $-7$ のほうが小さいので

(2) 分数と小数が混じっているので、そろえて比べます。$\dfrac{1}{3} = 0.333\ldots$ なので、絶対値は $0.5 > 0.333\ldots$ です。絶対値が大きい $-0.5$ のほうが小さいので

数直線を思いうかべて「左にあるほうが小さい」と確認すると、符号のミスを防げます。

(1) 同符号(どちらも負)の2数の和は、絶対値の和に共通の符号をつけます。

(2) 異符号の2数の和は、絶対値の差に、絶対値の大きいほうの符号をつけます。絶対値は $7$ と $12$ で、大きいのは $12$(符号は $-$)です。

「同符号なら和、異符号なら差」とセットで覚え、符号を先に決めてから絶対値の計算をしましょう。

減法は、ひく数の符号を変えて加法に直します。

(1) $-(-9)$ は $+(+9)$ に直せるので

異符号の和なので、絶対値の差 $9 - 3 = 6$ に、絶対値の大きい $+9$ の符号をつけて

(2) $-(+10)$ は $+(-10)$ に直せるので

「ひき算はそのまま計算しない。必ずたし算に直す」を習慣にすると、符号ミスが大きく減ります。

乗法・除法は、まず符号を決めてから絶対値の計算をします。

(1) 同符号(負 $\times$ 負)の積は正です。絶対値の積は $6 \times 4 = 24$ なので

(2) 異符号(負 $\div$ 正)の商は負です。絶対値の商は $36 \div 9 = 4$ なので

検算として、商にわる数をかけて元に戻るか確かめましょう。$(-4) \times 9 = -36$ となり、正しいことが確認できます。

(1) $(-2)^3$ は $-2$ を $3$ 個かけ合わせた数です。負の数が $3$ 個(奇数個)なので符号は負、絶対値は $2 \times 2 \times 2 = 8$ です。

(2) $-5^2$ は「$5^2$ に $-$ の符号をつけたもの」です。$2$ 乗されるのは $5$ だけで、$-5$ ではありません。

もし $(-5)^2$ なら $(-5) \times (-5) = 25$ です。かっこの有無で答えの符号が変わる、テストで最もねらわれるポイントです。

まず、減法をすべて加法に直します。$-(-3)$ は $+(+3)$、$-6$ は $+(-6)$ になるので

かっこと加法の記号を省いて、項を並べた式にすると

正の項どうし、負の項どうしをまとめます。

異符号の和なので、絶対値の差 $14 - 10 = 4$ に、絶対値の大きいほうの符号 $-$ をつけて

長い式ほど「加法に直す → 正の項と負の項をまとめる」の手順が効きます。左から1つずつ計算するより速く、正確です。

乗法と除法だけの式は、先に全体の符号を決めます。負の数は $-8$ と $-6$ の $2$ 個(偶数個)なので、答えの符号は正です。

除法を逆数の乗法に直すと

絶対値の計算は

よって答えは $+4 = 4$ です。

左から順に計算しても、$(-8) \times 3 = -24$、$(-24) \div (-6) = 4$ となり、同じ答えになります。どちらの方法でも、符号と絶対値を分けて考えるのがコツです。

四則の混じった計算は「累乗 → 乗除 → 加減」の順に計算します。

(1) 先に乗法 $6 \times (-2) = -12$ を計算します。

減法を加法に直して

(2) 先に累乗 $(-2)^2 = (-2) \times (-2) = 4$ と、除法 $18 \div (-3) = -6$ を計算します。

負の項どうしの和なので

(1) で $4 - 6 = -2$ を先に計算してしまうのが典型的なミスです。「たし算・ひき算はいちばん最後」を徹底しましょう。

(1) 分母が異なるので、$4$ と $6$ の最小公倍数 $12$ で通分します。

異符号の和なので、絶対値の差に、絶対値の大きい $\dfrac{10}{12}$ の符号(正)をつけて

(2) 除法は、わる数 $\dfrac{4}{9}$ の逆数 $\dfrac{9}{4}$ をかける乗法に直します。

異符号の積なので符号は負。絶対値は約分しながら

よって答えは $-\dfrac{3}{2}$ です。分数の計算でも「符号を先に決める」手順は同じです。

(1) かっこの中を通分してから計算してもよいですが、分配法則 $(b + c) \times a = b \times a + c \times a$ を使うと分数の通分をせずにすみます。

それぞれ計算すると

なので

(2) こちらは分配法則を逆向きに使って、共通の $-8$ をくくり出します。

$17 \times (-8) = -136$ と $3 \times (-8) = -24$ を別々に計算して $-136 - 24 = -160$ としても同じ答えですが、くくり出すほうがずっと楽です。「同じ数がかけられていたら、くくり出せないか」を疑う習慣をつけましょう。

平均は「基準の値 + 基準とのちがいの平均」で求められます。

まず、基準とのちがいの合計を計算します。正の項と負の項をまとめて

ちがいの平均は、これを人数の $5$ で割って

よって、5人の身長の平均は

検算として実際の身長で計算すると、$163 + 155 + 167 + 158 + 162 = 805$、$805 \div 5 = 161$ cm となり、一致します。大きい数をそのまま合計するより、基準とのちがいを使うほうが計算がずっと楽になるのが、この方法のよさです。

計算順序「累乗 → かっこの中 → 乗除 → 加減」を厳密に守ります。

(1) まず累乗を3つとも計算します。かっこの位置に注意して

式に戻すと

次に除法。同符号の商なので正で、$16 \div 8 = 2$ より

(2) まず中かっこの中を計算します。累乗 $(-2)^2 = 4$ を先に、次に乗法 $4 \times 5 = 20$ を計算して

式に戻すと

次に除法。同符号の商なので正で、$12 \div 3 = 4$ より

(2) の最後を $12 - (-12) = 24$ としてから $\div (-3)$ とするのは、加減を乗除より先にやってしまう誤りです。除法が先、が鉄則です。

文字のままでは考えにくければ、条件に合う具体例(たとえば $a = 2$、$b = -5$)で確かめながら考えると確実です。

(1) $a + b$ は異符号の2数の和なので、絶対値の大きいほうの符号になります。条件より $b$ のほうが絶対値が大きく、$b$ は負なので、$a + b$ は負です。(例: $2 + (-5) = -3$)

(2) $a - b$ は、減法を加法に直すと $a + (-b)$ です。$b$ が負の数なので、符号を変えた $-b$ は正の数です。正の数と正の数の和だから、$a - b$ は必ず正です。(例: $2 - (-5) = 2 + 5 = 7$)

(3) $a \times b$ は異符号の2数の積なので、絶対値の大小に関係なく必ず負です。(例: $2 \times (-5) = -10$)

(1) だけは絶対値の条件が効いていることに注意しましょう。もし $a$ の絶対値のほうが大きければ $a + b$ は正になるので、条件を読み落とさないことが大切です。具体例で確かめたあと、「どんな数でも成り立つ理由」を言葉で説明できるようにしておくと、この型の問題に強くなります。

「平均 = 基準の値 + 基準とのちがいの平均」の関係を逆向きに使います。

平均点が $79$ 点で基準が $80$ 点なので、基準とのちがいの平均は

ちがいの平均が $-1$ 点だから、6人分のちがいの合計は

一方、A〜E の5人のちがいの合計を計算すると、正の項と負の項をまとめて

したがって、合計が $-6$ になるためには

より $x = -6$ です。F の得点は、基準より $6$ 点低いので

検算として実際の得点で確かめると、$86 + 68 + 84 + 73 + 89 + 74 = 474$、$474 \div 6 = 79$ 点となり、平均が一致します。「ちがいの合計 = ちがいの平均 $\times$ 人数」という関係に気づけるかがこの問題のカギです。