答えと解説

(1) $\angle AOC$ と $\angle BOD$ は向かい合う角、つまり対頂角です。対頂角は等しいから

(2) C、O、D は一直線上にあるので、$\angle AOC$ と $\angle AOD$ を合わせると一直線の角 $180^\circ$ になります。

検算として、$\angle AOD$ の対頂角 $\angle BOC$ も $115^\circ$ で、4つの角の和は $65^\circ + 115^\circ + 65^\circ + 115^\circ = 360^\circ$ となり、1回転分と一致します。

まず $l$ と $n$ の交点のまわりを整理します。$110^\circ$ の角のとなりの角は、一直線の角から

対頂角は等しいので、$l$ と $n$ がつくる4つの角は $110^\circ$ が2つと $70^\circ$ が2つです。

$l$ // $m$ だから同位角は等しく、$m$ と $n$ がつくる4つの角もまったく同じ組、つまり $110^\circ$ が2つと $70^\circ$ が2つになります。

このうち鋭角は $70^\circ$ です。

平行線では、8つの角はどれも「$110^\circ$ か $70^\circ$」のように2種類の大きさしか現れず、その2つの和は必ず $180^\circ$ になります。この見方を覚えておくと計算が速くなります。

(1) $n$ 角形の内角の和は $180^\circ \times (n-2)$ です。$n = 9$ を代入して

(2) 正十二角形の内角の和は

正多角形の内角はすべて等しいから、1つの内角は

外角から検算もできます。1つの外角は $360^\circ \div 12 = 30^\circ$ で、内角はそのとなりの角だから $180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$。一致するので安心です。

(1) 多角形の外角の和は、頂点の数に関係なくつねに $360^\circ$ です。正八角形では8つの外角がすべて等しいから

(2) 外角の和 $360^\circ$ を1つの外角 $24^\circ$ で割れば、頂点の数がわかります。

よって正十五角形です。

正多角形の角の問題は、「外角の和はつねに $360^\circ$」を使うのが最短ルートです。内角を聞かれたときも、まず外角を求めてから $180^\circ$ をひく方が計算が楽なことが多いです。

合同の式 $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$ は、対応する頂点を同じ順に書く約束なので、A と D、B と E、C と F が対応します。

(1) E に対応するのは B、F に対応するのは C だから、辺 EF に対応する辺は辺 BC です。

(2) A に対応するのは D だから、$\angle A$ に対応する角は $\angle D$ です。

(3) 合同な図形では対応する線分の長さ、対応する角の大きさはそれぞれ等しいから

対応を調べるときは、図を見なくても「記号の並び順」だけで機械的に読み取れます。逆に、自分が合同の式を書くときも、対応順を守らないと減点されるので注意しましょう。

DE // BC に、直線 AB が交わっていると見ます。$\angle ADE$ と $\angle ABC$ は同位角の位置にあるので、平行線の性質から

次に $\triangle ABC$ の内角の和を使います。三角形の内角の和は $180^\circ$ だから

検算として、$\triangle ADE$ で $\angle AED = 180^\circ - 40^\circ - 70^\circ = 70^\circ$ を求め、$\angle AED$ と $\angle ACB$ が同位角で等しいことからも $70^\circ$ が確かめられます。

$n$ 角形の内角の和は $180^\circ \times (n-2)$ だから、方程式を立てます。

両辺を $180$ で割って

よって十角形です。

正十角形なら10個の内角がすべて等しいから、1つの内角は

検算: 1つの外角は $360^\circ \div 10 = 36^\circ$ で、$180^\circ - 36^\circ = 144^\circ$。一致します。内角の和から $n$ を求める問題は、「$180$ で割ってから $2$ を足す」という手順に整理しておくとミスが減ります。

1つの外角の大きさを $x$ とおくと、1つの内角は $3x$ と表せます。内角と外角はとなり合って一直線の角をつくるので、和は $180^\circ$ です。

つまり1つの外角は $45^\circ$ です。外角の和はつねに $360^\circ$ だから、頂点の数は

よって正八角形です。

検算: 正八角形の1つの内角は $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$ で、たしかに外角 $45^\circ$ の3倍になっています。「内角 $+$ 外角 $= 180^\circ$」で外角の方程式を立てるのが、この型の問題の定石です。

まず $\triangle ABC$ の内角の和から

BP は $\angle B$ の二等分線、CP は $\angle C$ の二等分線だから

$\angle B$ と $\angle C$ のそれぞれの大きさはわかりませんが、和ならわかります。

$\triangle PBC$ の内角の和は $180^\circ$ だから

「1つ1つの角はわからなくても、和ならわかる」という発想がポイントです。一般に $\angle BPC = 90^\circ + \dfrac{1}{2}\angle A$ が成り立ち、$90^\circ + 25^\circ = 115^\circ$ と検算できます。

仮定は $AO = BO$、$CO = DO$、結論は $AC = BD$ です。結論の AC と BD をそれぞれ辺にもつ $\triangle AOC$ と $\triangle BOD$ に注目し、合同を示す方針を立てます。辺は仮定から2組そろうので、あと1つは2つの線分が点 O で交わってできる対頂角を使います。

【証明】
$\triangle AOC$ と $\triangle BOD$ において、

仮定より $AO = BO$ …①

仮定より $CO = DO$ …②

対頂角は等しいから $\angle AOC = \angle BOD$ …③

①、②、③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから

合同な図形の対応する辺は等しいから

(証明終)

③の $\angle AOC$ は①の辺 AO と②の辺 CO にはさまれた「間の角」になっていることを確かめてください。また、合同の式は A と B、O と O、C と D の対応順に書きます。根拠(仮定より・対頂角は等しいから)を1つずつそえるのを忘れないようにしましょう。

(1) 仮定は $AB = AC$ と「M は辺 BC の中点」、結論は $\triangle ABM \equiv \triangle ACM$ です。2つの三角形は辺 AM を共有していることに注目すると、辺が3組そろいます。

【証明】
$\triangle ABM$ と $\triangle ACM$ において、

仮定より $AB = AC$ …①

M は辺 BC の中点だから $BM = CM$ …②

AM は共通 …③

①、②、③より、3組の辺がそれぞれ等しいから

(証明終)

(2) (1)の結果を根拠として使います。

【証明】
(1)より $\triangle ABM \equiv \triangle ACM$ であり、合同な図形の対応する角は等しいから

また、M は辺 BC 上の点なので、B、M、C は一直線上にあり

④を⑤に代入すると

(証明終)

「合同 → 対応する角が等しい → 一直線の角 $180^\circ$ と組み合わせる」という流れは、垂直を証明するときの代表的なパターンです。この問題は「二等辺三角形の頂点と底辺の中点を結ぶ線分は、底辺と垂直になる」という重要な事実の証明にもなっています。

5つの角がばらばらに見えますが、「三角形の内角の和」と「対頂角」を使って、1つの三角形に角を集めるのが定石です。

線分 BD と線分 CE の交点を P とします(凸五角形では、この2本の対角線は五角形の内部で交わります)。P は線分 BD 上の点だから $\angle PBE = \angle DBE$、$\angle PDC = \angle BDC$ であり、P は線分 CE 上の点だから $\angle PEB = \angle CEB$、$\angle PCD = \angle ECD$ です。

まず、$\triangle PBE$ と $\triangle PCD$ の内角の和はどちらも $180^\circ$ です。

ここで $\angle BPE$ と $\angle CPD$ は対頂角なので等しい。2つの式を比べると

次に、$\triangle ACD$ の内角の和を考えます。

凸五角形では、線分 CE は $\angle ACD$ の内部を通り、線分 DB は $\angle ADC$ の内部を通るので、これらの角は次のように分けられます。

代入すると

(★)を使って $\angle PCD + \angle PDC$ を $\angle DBE + \angle CEB$ におきかえると

よって、星形の先端の角の和は $180^\circ$ です。

「離れた角を、対頂角や外角を使って1つの三角形に集める」という考え方は、複雑な角の和を求める問題全般で使える強力な手法です。

仮定は $AB = AC$、$BD \perp AC$、$CE \perp AB$、結論は $BD = CE$ です。BD をふくむ $\triangle ABD$ と、CE をふくむ $\triangle ACE$ に注目します。辺は $AB = AC$ の1組しかそろわないので、角を2つそろえる方針、つまり「1組の辺とその両端の角」をねらいます。$\angle A$ が共通で、垂線から直角が1組とれますが、直角は辺 AB、AC の両端の角ではないので、三角形の内角の和を使って残りの角が等しいことを導くのがポイントです。

【証明】
$\triangle ABD$ と $\triangle ACE$ において、

仮定より $AB = AC$ …①

$\angle A$ は共通だから $\angle BAD = \angle CAE$ …②

$BD \perp AC$、$CE \perp AB$ だから $\angle ADB = \angle AEC = 90^\circ$ …③

三角形の内角の和は $180^\circ$ だから、②、③より

①、②、④より、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから

合同な図形の対応する辺は等しいから

(証明終)

②の $\angle BAD$ と④の $\angle ABD$ は、①の辺 AB の両端の角($\angle CAE$ と $\angle ACE$ は辺 AC の両端の角)になっていることを確かめてください。「2組の角が等しければ、残りの角も自動的に等しい」——内角の和を使うこの1手は、入試の証明で頻出のテクニックです。

結論の CD をふくむ $\triangle ADC$ と、BE をふくむ $\triangle ABE$ に注目します。正三角形の定義(3つの辺が等しく、3つの角がすべて $60^\circ$)から、辺が2組そろいます。間の角 $\angle DAC$ と $\angle BAE$ は、どちらも「$60^\circ$ と $\angle BAC$ の和」になっていることに気づけるかが勝負です。

【証明】
$\triangle ADC$ と $\triangle ABE$ において、

$\triangle ABD$ は正三角形だから $AD = AB$ …①

$\triangle ACE$ は正三角形だから $AC = AE$ …②

また、D は直線 AB について C と反対側にあるから、$\angle DAC$ は $\angle DAB$ と $\angle BAC$ を合わせた角であり、正三角形の1つの内角は $60^\circ$ だから

同様に、E は直線 AC について B と反対側にあるから

よって

①、②、③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから

合同な図形の対応する辺は等しいから

(証明終)

③のように、等しい角どうしに同じ角($\angle BAC$)を加えても等しいままである、という考え方は難関校の証明問題で何度も登場します。合同の式の対応(A と A、D と B、C と E)から、対応する辺が CD と BE になることも必ず確認しましょう。