1次関数

水が $40$ L 入った水そうから、毎分 $2$ L ずつ水を抜くとします。$x$ 分後の水の量を $y$ L とすると、$y = 40 - 2x$、つまり $y = -2x + 40$ と表せます。このように、$y$ が $x$ の1次式で表されるとき、$y$ は $x$ の1次関数であるといいます。

ここで注意したいのは、$y = \dfrac{6}{x}$(反比例)や $y = x^2$ は1次関数ではないことです。「$x$ の1次式($x$ の項と定数の項だけ)で書けるか」が判断のポイントです。

1次関数では、$x$ が増えたとき $y$ がどれだけ増えるかを表す「変化の割合」がとても大切です。

1次関数 $y = ax + b$ のグラフは直線になります。$x = 0$ のとき $y = b$ なので、グラフは $y$ 軸上の点 $(0, \ b)$ を通ります。この $b$ をグラフの切片といいます。また、$x$ が $1$ 増えるごとに $y$ は $a$ 増えるので、$a$ はグラフの傾きぐあいを表します。この $a$ をグラフの傾きといいます。

たとえば $y = \dfrac{2}{3}x - 1$ のグラフなら、切片の点 $(0, \ -1)$ から「右へ $3$、上へ $2$」進んだ点 $(3, \ 1)$ をとって結ぶと、格子点(座標が整数の点)を通るきれいな直線がかけます。傾きが分数のときは、分母だけ右へ、分子だけ上へ進むと考えましょう。

次に、$x$ の値の範囲(変域)が決まっているときの、$y$ の変域の求め方を考えます。グラフは直線なので、$y$ の変域は $x$ の変域の両端の値だけで決まります。ただし、傾きが負のときは大小が入れかわることに注意が必要です。

1次関数の式 $y = ax + b$ を決めるには、$a$(傾き)と $b$(切片)の2つの値がわかればよいのです。問題文からこの2つを求めるパターンを整理しましょう。

$2x + y = 5$ のように、2つの文字をふくむ1次方程式(2元1次方程式)を成り立たせる $x$、$y$ の組を座標とする点をすべてかくと、直線になります。実際、$2x + y = 5$ を $y$ について解くと $y = -2x + 5$ となり、1次関数のグラフと同じものだとわかります。

つまり「2元1次方程式のグラフ」は、$y$ について解けば「1次関数のグラフ」としてかけるのです。ただし特別な形として、$y = 3$ のグラフは $x$ 軸に平行な直線、$x = 2$ のグラフは $y$ 軸に平行な直線になることも覚えておきましょう。

1次関数は、身のまわりの問題を解くための強力な道具です。よく出るのは次の3つの場面です。

・水そうの問題 … 水の量が一定の割合で変わる → 変化の割合が傾きになる
・料金プランの問題 … 基本料金が切片、1分(1個)あたりの料金が傾きになる
・動く点(動点)の問題 … 点がどの辺の上にあるかで場合分けし、それぞれの変域で式をつくる

どの問題でも、「何を $x$、何を $y$ とするか」を最初にはっきりさせ、式をつくったら変域($x$ の値の範囲)を必ず確認するのがコツです。