答えと解説

1次関数とは、$y = ax + b$($a \ne 0$)の形で表される関数のことです。1つずつ確認します。

ア $y = -4x + 1$ は、$a = -4$、$b = 1$ の1次関数です。

イ $y = \dfrac{6}{x}$ は反比例で、$x$ が分母にあるので1次式ではありません。1次関数ではありません。

ウ $y = x^2 - 1$ は $x$ の2次式なので、1次関数ではありません。

エ $y = \dfrac{x}{3} + 2$ は $y = \dfrac{1}{3}x + 2$ と書き直せるので、$a = \dfrac{1}{3}$、$b = 2$ の1次関数です。

よって、1次関数はアとエです。「$y = (\text{数}) \times x + (\text{数})$ の形に直せるか」で判断しましょう。なお、$y = ax$(比例)も $b = 0$ の1次関数です。

式に値を代入して求めます。

(1) $x = 2$ を代入して

(2) $x = -1$ を代入して

負の数を代入するときは、かっこをつけて計算すると符号ミスを防げます。

(3) $y = 7$ を代入して、$x$ についての方程式を解きます。

$-5$ を左辺に移項して

検算: $y = 3 \times 4 - 5 = 12 - 5 = 7$ で成り立ちます。

(1) 1次関数 $y = ax + b$ の変化の割合は、つねに $a$ に等しいので、変化の割合は $-2$ です。

実際に計算して確かめると、$x = 1$ のとき $y = -2 \times 1 + 7 = 5$、$x = 5$ のとき $y = -2 \times 5 + 7 = -3$ なので

となり、確かに $a = -2$ と一致します。

(2) 変化の割合の式を変形すると

$x$ の増加量は $5 - 1 = 4$ なので

「増加量が $-8$」とは「$8$ 減る」という意味です。増加量は負の数になることもあるので、符号ごと答えましょう。

(1) $y = ax + b$ の形と見比べると、$a = \dfrac{2}{3}$、$b = -4$ です。よって、傾きは $\dfrac{2}{3}$、切片は $-4$ です。

グラフをかくときは、切片の点 $(0, \ -4)$ から「右へ $3$、上へ $2$」進んだ点 $(3, \ -2)$ をとって直線で結びます。

(2) $y$ の増加量は「変化の割合 $\times$ $x$ の増加量」で求められます。1次関数の変化の割合は傾き $\dfrac{2}{3}$ に等しいので

傾きが分数のときは、「$x$ が(分母の数)増えると $y$ は(分子の数)増える」と考えると、$x$ が $3$ 増えるごとに $y$ は $2$ 増えるので、$x$ が $6$ 増えれば $y$ は $4$ 増える、と確かめられます。

変域の両端の $x$ の値を式に代入します。

$x = 1$ のとき

$x = 4$ のとき

傾きが $2 > 0$ なので、グラフは右上がりです。$x$ が小さいほど $y$ も小さいので、$y$ の最小値は $-1$、最大値は $5$ です。よって

変域の問題では、必ず「小さい値 $\le y \le$ 大きい値」の順に書きます。傾きが正なら $x$ と $y$ の大小の順は同じですが、傾きが負のときは逆になるので、毎回グラフの向きを確認する習慣をつけましょう。

傾きが $-2$ なので、求める式は $y = -2x + b$ とおけます。

この直線は点 $(3, \ -1)$ を通るので、$x = 3$、$y = -1$ を代入します。

よって、求める式は

検算: $x = 3$ を代入すると $y = -2 \times 3 + 5 = -6 + 5 = -1$ となり、確かに点 $(3, \ -1)$ を通ります。「傾きがわかったら $y = ax + b$ とおいて点を代入」が基本の流れです。

まず、2点から傾き(変化の割合)を求めます。

よって $y = \dfrac{3}{2}x + b$ とおけます。点 $(-2, \ 1)$ を通るので、$x = -2$、$y = 1$ を代入して

よって、求める式は

検算: 代入に使わなかった点 $(4, \ 10)$ で確かめると、$y = \dfrac{3}{2} \times 4 + 4 = 6 + 4 = 10$ となり成り立ちます。傾きの計算では、$4 - (-2) = 6$ のように、負の座標を引くときの符号に注意しましょう。

2つの直線が平行になるのは、傾きが等しいときです。直線 $y = 3x - 1$ の傾きは $3$ なので、求める直線の傾きも $3$ です。

よって $y = 3x + b$ とおけます。点 $(-1, \ 2)$ を通るので、$x = -1$、$y = 2$ を代入して

よって、求める式は

検算: $x = -1$ のとき $y = 3 \times (-1) + 5 = 2$ で成り立ちます。「平行 → 傾きが同じ」という言いかえは定期テストで頻出です。切片まで同じにしてしまうと同じ直線になってしまうので、切片は必ず通る点から求め直します。

2直線の交点の座標は、2つの式を組にした連立方程式の解として求められます。どちらも $y = \cdots$ の形なので、右辺どうしを等しいとおきます。

$-x$ を左辺に、$-1$ を右辺に移項して

$y = 2x - 1$ に $x = 2$ を代入して

よって、交点の座標は $(2, \ 3)$ です。

検算: もう一方の式に代入すると $y = -2 + 5 = 3$ となり一致します。交点の問題では、必ず両方の式で $y$ の値が一致することを確かめましょう。

変域の両端の $x$ の値を代入します。

$x = -1$ のとき

$x = 2$ のとき

傾きが $-3 < 0$ なので、グラフは右下がりです。つまり、$x$ が最小の $-1$ のとき $y$ は最大の $5$ になり、$x$ が最大の $2$ のとき $y$ は最小の $-4$ になります。よって

傾きが負のときは、$x$ の変域の端と $y$ の変域の端が「入れかわる」ことに注意しましょう。答えを書く前に「$y$ の変域は小さい方から書けているか」を確認すると安心です。

(1) $3x + 2y = 6$ を $y$ について解きます。$3x$ を右辺に移項して

両辺を $2$ で割って

これで、傾き $-\dfrac{3}{2}$、切片 $3$ の直線だとわかります。

(2) $x$ 軸との交点は $y = 0$ となる点です。元の式に $y = 0$ を代入して

よって $x$ 軸との交点は $(2, \ 0)$ です。

$y$ 軸との交点は $x = 0$ となる点です。$x = 0$ を代入して

よって $y$ 軸との交点は $(0, \ 3)$ です。これは (1) で求めた切片 $3$ とも一致します。「$x$ 軸上の点は $y = 0$、$y$ 軸上の点は $x = 0$」という言いかえは、グラフの問題全般で使う大切な考え方です。

(1) 水そうAは、最初 $40$ L あり、毎分 $2$ L ずつ減るので、$x$ 分間で $2x$ L 減ります。よって

「最初の量」が切片 $40$、「毎分の変化量」が傾き $-2$(減るので負)になっています。なお、水がなくなるのは $y = 0$ のとき、すなわち $x = 20$ なので、この式が使えるのは $0 \le x \le 20$ の範囲です。

水そうBは、最初 $0$ L で毎分 $3$ L ずつ増えるので

これは比例の式($b = 0$ の1次関数)です。

(2) 水の量が等しくなるのは、2つの式の $y$ の値が等しくなるときなので

$-2x$ を右辺に移項して

$x = 8$ は $0 \le x \le 20$ の範囲内なので問題ありません。このときの水の量は、B の式に代入して

よって、$8$ 分後に、どちらも $24$ L で等しくなります。

検算: A の式でも $y = -2 \times 8 + 40 = -16 + 40 = 24$ となり一致します。グラフでいえば、右下がりの直線Aと右上がりの直線Bの交点が答えにあたります。

長方形 ABCD では、辺 AB と辺 BC は隣り合う辺なので垂直です。$AB = 6$ cm、$BC = 8$ cm、$CD = AB = 6$ cm、$DA = BC = 8$ cm であることを確認しておきます。P は毎秒 $1$ cm で動くので、$x$ 秒間に進む道のりは $x$ cm です。

(1) P が辺 BC 上にあるとき、$BP = x$ cm です。三角形 ABP は、底辺を BP、高さを AB と見ることができます(AB $\perp$ BC だから)。よって

確認: $x = 8$(P が C に着いたとき)のとき $y = 24$ で、これは三角形 ABC の面積 $\dfrac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$ と一致します。

(2) P が辺 DA 上にあるときを考えます。B から C を経て D までの道のりは $BC + CD = 8 + 6 = 14$ cm なので、P が D に着くのは $x = 14$ 秒後です。そこからさらに進んだ道のりが $DP = x - 14$ cm なので

三角形 ABP は、底辺を AP、高さを AB と見ることができます(AB $\perp$ DA だから)。よって

確認: $x = 14$ のとき $y = -42 + 66 = 24$ で、P が D にいるときの三角形 ABD の面積 $\dfrac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$ と一致します。また $x = 22$(P が A に着いたとき)のとき $y = 0$ となり、三角形がつぶれることとも合っています。

動点の問題は「P がどの辺にいるか」で場合分けし、それぞれの場合で底辺と高さを図で確かめながら式をつくるのが定石です。式ができたら、変域の端の値を代入して面積が正しくつながるか検算しましょう。

(1) 料金は「基本料金 + 1分あたりの料金 $\times$ 通話時間」で計算できます。基本料金が切片、1分あたりの料金が傾きになります。

プランA: $y = 40x + 1200$

プランB: $y = 20x + 3000$

(2) まず、2つのプランの料金が等しくなる通話時間を求めます。

$20x$ を左辺に、$1200$ を右辺に移項して

つまり、通話時間がちょうど $90$ 分のとき、料金は等しくなります。このときの料金は $y = 40 \times 90 + 1200 = 4800$ 円で、Bでも $y = 20 \times 90 + 3000 = 4800$ 円となり一致します。

次に、$90$ 分の前後でどちらが安いかを考えます。傾きを比べると、Aは $1$ 分ごとに $40$ 円、Bは $1$ 分ごとに $20$ 円増えるので、通話時間が長くなるほどBの増え方の方がゆるやかです。したがって、$90$ 分より通話時間が長いとBの方が安くなります。

確かめとして $x = 100$ を代入すると、A は $40 \times 100 + 1200 = 5200$ 円、B は $20 \times 100 + 3000 = 5000$ 円で、確かにBの方が安くなっています。よって、$90$ 分を超えるとプランBの方が安くなります。

料金プランの問題は「交点を求める → 交点の前後でどちらのグラフが下(安い)かを傾きで判断する」という2段階で考えるのがポイントです。