確率とデータの比較

さいころを1回投げるとき、どの目が出るかは投げてみるまで分かりません。しかし、1の目も2の目も、出やすさに差はないと考えられます。このように、起こりうるどの場合も同じ程度に期待できるとき、「どの場合が起こることも同様に確からしい」といいます。確率は、この「同様に確からしい」ことを前提にして、あることがらの起こりやすさを数で表したものです。

たとえば、さいころを1回投げて偶数の目が出る確率を考えます。目の出方は全部で $6$ 通りで、どれも同様に確からしい。偶数の目は $2$、$4$、$6$ の $3$ 通りだから、求める確率は $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ です。答えの分数は必ず約分して、それ以上約分できない分数(既約分数)で答えましょう。

場合の数を数えるときにいちばん大切なのは、「落ちや重なりがないように数える」ことです。そのための道具が樹形図と表です。樹形図は、起こりうる場合を枝分かれさせて順にかき出す図で、硬貨を続けて投げる場合など、順番のある場合の数を数えるのに向いています。表は、2つのさいころのように「2つのものの組み合わせ」を数えるのに向いています。

大小2つのさいころを同時に投げるとき、目の出方は縦横 $6$ マスずつの表に整理すると数えやすくなります。大きいさいころの目を縦、小さいさいころの目を横にとると、出方は全部で $6 \times 6 = 36$ 通りで、どれも同様に確からしいといえます。

くじ引きの確率では、当たりくじにもはずれくじにも番号をつけて、1本1本を区別して数えるのがコツです。たとえば、5本のうち当たりが2本入ったくじを A さん、B さんの順に1本ずつ引く(引いたくじは戻さない)とき、当たりを ①②、はずれを ③④⑤ と区別すると、2人の引き方は $5 \times 4 = 20$ 通りになります。このように数えると、実は「先に引いても後に引いても、当たる確率は同じ」であることが計算で確かめられます。くじ引きの公平さは、確率の考え方のよさが実感できる場面です。

データの散らばりのようすを調べるために、データを値の小さい順に並べて、個数がほぼ等しくなるように4つのグループに分けることを考えます。このときの3つの区切りの値を、小さい方から順に第1四分位数、第2四分位数、第3四分位数といいます。第2四分位数はデータ全体の中央値のことです。

最小値、第1四分位数、中央値(第2四分位数)、第3四分位数、最大値の5つの値を使うと、データの分布のようすをコンパクトに図に表せます。この図を箱ひげ図といいます。第1四分位数から第3四分位数までを長方形(箱)でかき、箱の中に中央値の線を入れ、箱の両側から最小値・最大値まで線(ひげ)をのばしてかきます。

箱ひげ図のよさは、複数のデータの分布を並べて比較しやすいことです。ヒストグラムは1つのデータの分布の形を詳しく見るのに向いていますが、箱ひげ図は何組ものデータを同じ数直線上に並べて、中央値の位置や散らばりのちがいをひと目で比べられます。

箱ひげ図からは「各区間におよそ25%ずつのデータが入る」ことを使って、人数のおおよその見積もりもできます。たとえば40人のクラスの得点の箱ひげ図で第3四分位数が $80$ 点なら、$80$ 点以上の生徒はおよそ $40 \times \dfrac{1}{4} = 10$(人)と考えられます。ただし、同じ値のデータの重なり方によって実際の人数は多少前後するので、「およそ」であることに注意しましょう。