答えと解説

確率は $(\text{あることがらの起こる場合の数}) \div (\text{起こりうるすべての場合の数})$ で求めます。目の出方は全部で $6$ 通りで、どの目が出ることも同様に確からしいといえます。

(1) 偶数の目は $2$、$4$、$6$ の $3$ 通りだから

(2) 5以上の目は $5$、$6$ の $2$ 通りだから

答えは必ず約分して既約分数にします。$\dfrac{3}{6}$ や $\dfrac{2}{6}$ のまま答えないよう注意しましょう。

玉は全部で $3 + 2 = 5$ 個。同じ色の玉でも1個1個を区別して数えるので、取り出し方は全部で $5$ 通りあり、どの玉が出ることも同様に確からしいといえます。

(1) 赤玉は $3$ 個あるので、赤玉が出る場合は $3$ 通り。

(2) 白玉は $2$ 個あるので、白玉が出る場合は $2$ 通り。

検算のコツ: 赤が出る確率と白が出る確率を足すと $\dfrac{3}{5} + \dfrac{2}{5} = 1$ になります。すべての場合の確率の和は必ず $1$ になることを使って確かめられます。

2枚の硬貨を A、B と区別して樹形図をかくと、出方は

(表, 表)、(表, 裏)、(裏, 表)、(裏, 裏)

の全部で $4$ 通りで、どれも同様に確からしいといえます。

(1) 2枚とも表になるのは (表, 表) の $1$ 通りだから

(2) 1枚が表で1枚が裏になるのは (表, 裏) と (裏, 表) の $2$ 通りだから

「表2枚・表1枚裏1枚・裏2枚の3通りだから確率はどれも $\dfrac{1}{3}$」とするのは誤りです。硬貨を区別して数えないと、同様に確からしい場合になりません。

引き方は全部で $52$ 通りで、どのカードを引くことも同様に確からしいといえます。

(1) ハートは $13$ 枚あるので

(2) 絵札は各マーク(ハート、ダイヤ、スペード、クラブ)に $3$ 枚ずつあるので、全部で $3 \times 4 = 12$ 枚。よって

約分の検算: $\dfrac{12}{52}$ は分母・分子を $4$ で割って $\dfrac{3}{13}$。$13$ は素数で $3$ と共通の約数をもたないので、これ以上約分できません。

(1) まずデータを小さい順に並べます。

データの個数は $7$(奇数)なので、中央値(第2四分位数)は小さい方から $4$ 番目の値で $8$ 冊です。

個数が奇数のときは、中央値を除いて前半と後半に分けます。前半は $3,\ 5,\ 6$、後半は $10,\ 12,\ 14$ です。

第1四分位数は前半 $3$ 個の中央値だから $5$ 冊。第3四分位数は後半 $3$ 個の中央値だから $12$ 冊。

(2) 四分位範囲は第3四分位数から第1四分位数を引いて

並べ替えのとき、データの個数が元の個数($7$ 個)と合っているかを必ず確認しましょう。書き落としがいちばん多いミスです。

目の出方は全部で $6 \times 6 = 36$ 通りで、どれも同様に確からしいといえます。大きいさいころの目を $a$、小さいさいころの目を $b$ とします。

(1) $a + b = 5$ となる組 $(a, b)$ は

$(1, 4)$、$(2, 3)$、$(3, 2)$、$(4, 1)$

の $4$ 通り。よって

(2) 和が $10$、$11$、$12$ になる場合をそれぞれ数えます。

和が $10$: $(4, 6)$、$(5, 5)$、$(6, 4)$ の $3$ 通り
和が $11$: $(5, 6)$、$(6, 5)$ の $2$ 通り
和が $12$: $(6, 6)$ の $1$ 通り

合わせて $3 + 2 + 1 = 6$ 通りだから

$(2, 3)$ と $(3, 2)$ のように、大小を入れかえた組を別々に数えるのを忘れないこと。表をかいて印をつけると確実です。

当たりくじを ①②、はずれくじを ③④⑤ として、5本すべてを区別します。A さんの引き方が $5$ 通り、そのそれぞれに対して B さんの引き方が残りの $4$ 通りあるので、2人の引き方は全部で

で、どれも同様に確からしいといえます。

(1) 2人とも当たるのは、A さんが ①② のどちらか($2$ 通り)、B さんが残った当たり($1$ 通り)を引く場合だから $2 \times 1 = 2$ 通り。よって

(2) B さんが当たる場合を2つに分けて数えます。

・A さんも当たり、B さんも当たり: $2 \times 1 = 2$ 通り
・A さんははずれ、B さんは当たり: $3 \times 2 = 6$ 通り

合わせて $2 + 6 = 8$ 通りだから

A さんが当たる確率も $\dfrac{2}{5}$ なので、先に引いても後に引いても当たりやすさは同じです。くじ引きの公平さを確率で説明できるようにしておきましょう。

同時に2枚引くので、組み合わせで数えます(引く順番は区別しません)。2枚の選び方をすべて書き出すと

$\{1,2\}$、$\{1,3\}$、$\{1,4\}$、$\{1,5\}$、$\{2,3\}$、$\{2,4\}$、$\{2,5\}$、$\{3,4\}$、$\{3,5\}$、$\{4,5\}$

の全部で $10$ 通りで、どれも同様に確からしいといえます。

和が偶数になるのは「奇数 + 奇数」か「偶数 + 偶数」のときです。

・奇数($1$、$3$、$5$)から2枚: $\{1,3\}$、$\{1,5\}$、$\{3,5\}$ の $3$ 通り
・偶数($2$、$4$)から2枚: $\{2,4\}$ の $1$ 通り

合わせて $3 + 1 = 4$ 通りだから

検算として実際に和を計算すると、$1+3=4$、$1+5=6$、$3+5=8$、$2+4=6$ でどれも偶数、残りの $6$ 通りはすべて奇数になり、合っています。「奇数 + 偶数 = 奇数」となる組み合わせと混同しないようにしましょう。

「少なくとも1枚は裏」の反対のことがらは「1枚も裏が出ない」、つまり「3枚とも表」です。

3枚の硬貨を A、B、C と区別すると、それぞれ表・裏の2通りずつあるので、出方は全部で

3枚とも表になるのは (表, 表, 表) の $1$ 通りだけなので、その確率は $\dfrac{1}{8}$。よって求める確率は

検算: 樹形図で「少なくとも1枚は裏」の場合を直接数えると、$8$ 通りのうち (表, 表, 表) 以外の $7$ 通りなので $\dfrac{7}{8}$ となり、一致します。「少なくとも」とあったら、反対のことがらの確率を $1$ から引くのが定石です。直接数えるより速く、数え落としも防げます。

(1) データを小さい順に並べます。

データの個数は $10$(偶数)なので、中央値は $5$ 番目と $6$ 番目の値の平均で

個数が偶数のときは、データがそのまま前半 $5$ 個と後半 $5$ 個に分かれます。

前半 $5,\ 8,\ 10,\ 12,\ 14$ の中央値($3$ 番目)が第1四分位数だから $10$ 分。

後半 $16,\ 18,\ 20,\ 24,\ 30$ の中央値($3$ 番目)が第3四分位数だから $20$ 分。

(2) 範囲は最大値から最小値を引いて

四分位範囲は第3四分位数から第1四分位数を引いて

奇数個のとき(中央値を除いて分ける)と偶数個のとき(そのまま半分に分ける)の手順のちがいを、この問題と問題5で確認しておきましょう。

(1) 範囲は最大値から最小値を引いて

四分位範囲は第3四分位数から第1四分位数を引いて

(2) 箱ひげ図では、第3四分位数から最大値までの区間にデータ全体のおよそ25%が入ります。第3四分位数が $80$ 点なので、$80$ 点以上の生徒はクラス全体のおよそ $\dfrac{1}{4}$ と考えられ

同じ得点の生徒の重なり方によって実際の人数は前後することがあるので、「およそ」をつけて答えます。箱ひげ図から正確な人数は読み取れない、という点も理解しておきましょう。

目の出方は全部で $6 \times 6 = 36$ 通りです。$\sqrt{ab}$ が整数になるのは、$ab$ が $0$ または平方数($1$、$4$、$9$、$16$、$25$、$36$、…)のときですが、$1 \le a \le 6$、$1 \le b \le 6$ より $1 \le ab \le 36$ なので、$ab = 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ 36$ の場合を調べます。

・$ab = 1$: $(1, 1)$ の $1$ 通り
・$ab = 4$: $(1, 4)$、$(2, 2)$、$(4, 1)$ の $3$ 通り
・$ab = 9$: $(3, 3)$ の $1$ 通り($(1, 9)$ などは目にないので不適)
・$ab = 16$: $(4, 4)$ の $1$ 通り($(2, 8)$ は不適)
・$ab = 25$: $(5, 5)$ の $1$ 通り
・$ab = 36$: $(6, 6)$ の $1$ 通り

合わせて $1 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 = 8$ 通り。よって求める確率は

検算: たとえば $(2, 2)$ なら $\sqrt{4} = 2$、$(1, 4)$ なら $\sqrt{4} = 2$ で確かに整数です。$ab = 9$ で $(1, 9)$ を数えてしまうミスが多いので、$a$ も $b$ も $6$ 以下であることを常に確認しましょう。

まず、できる2けたの整数をすべて書き出します。十の位に $0$ は使えないことに注意すると、十の位は $1$、$2$、$3$ の $3$ 通り、一の位は残りの $3$ 枚から選ぶので $3$ 通り。よって全部で $3 \times 3 = 9$ 通りで、書き出すと

となり、どれも同様に確からしいといえます。

(1) 偶数は一の位が $0$ か $2$ の数で、$10$、$12$、$20$、$30$、$32$ の $5$ 通り。よって

(2) 3の倍数は各位の数の和が3の倍数になる数です。$9$ 通りについて和を調べると、$12$($1+2=3$)、$21$($2+1=3$)、$30$($3+0=3$)の $3$ 通り。よって

検算: $12 \div 3 = 4$、$21 \div 3 = 7$、$30 \div 3 = 10$ で確かにすべて3の倍数です。この問題の最大のポイントは「十の位に $0$ は置けない」こと。全部で $4 \times 3 = 12$ 通りとすると誤りです。

1つずつ確かめます。

ア: 範囲は最大値 − 最小値です。A組は $28 - 4 = 24$(点)、B組は $26 - 8 = 18$(点)。$24 > 18$ なのでA組の方が大きく、正しい。

イ: 四分位範囲は第3四分位数 − 第1四分位数です。A組は $20 - 12 = 8$(点)、B組は $22 - 14 = 8$(点)で等しいので、正しい。

ウ: B組の中央値は $18$ 点です。$35$ 人(奇数)の中央値は小さい方から $18$ 番目の生徒の実際の得点なので、$18$ 点の生徒は必ずいますが、$16$ 点の生徒がいるかどうかは箱ひげ図からは分かりません。たとえば $15$ 点と $17$ 点の生徒はいても $16$ 点の生徒が1人もいない分布も作れるので、「必ずいる」とはいえず、誤り。

エ: A組の四分位数の位置を確認します。$35$ 人のとき、中央値は $18$ 番目の値。中央値を除いた前半は $1$〜$17$ 番目の $17$ 人、後半は $19$〜$35$ 番目の $17$ 人です。第3四分位数は後半 $17$ 人の中央値なので、小さい方から数えて $27$ 番目の生徒の得点にあたります。A組の第3四分位数は $20$ 点だから、$27$ 番目の生徒はちょうど $20$ 点で、得点順に並べたとき $27$ 番目から $35$ 番目までの

は全員 $20$ 点以上です。よって $20$ 点以上の生徒は $9$ 人以上いて、正しい。

以上より、正しいのはア、イ、エです。箱ひげ図の問題では「四分位数が何番目のデータにあたるか」を人数から具体的に求めるのが、発展問題を解くカギになります。