連立方程式

両方の式に $x = 2$、$y = 3$ を代入して確かめます。

1つめの式: 左辺 $= 2 + 2 \times 3 = 2 + 6 = 8$ となり、右辺 $8$ と一致します。

2つめの式: 左辺 $= 3 \times 2 - 3 = 6 - 3 = 3$ となり、右辺 $3$ と一致します。

どちらの式も成り立つので、$(x, y) = (2, 3)$ はこの連立方程式の解といえます。もし片方の式しか成り立たなければ、解とはいえません。

$y$ の係数が $+1$ と $-1$ なので、2つの式をそのままたすと $y$ が消去できます。

$x = 6$ を1つめの式 $x + y = 9$ に代入すると

よって解は $x = 6$、$y = 3$ です。

検算: $6 + 3 = 9$、$6 - 3 = 3$ でどちらの式も成り立ちます。

このままでは、どちらの文字も係数の絶対値がそろっていません。2つめの式の両辺を $3$ 倍すると、$y$ の係数が $-3$ になり、1つめの式の $+3$ とそろいます。

1つめの式とたすと、$y$ が消去できます。

$x = 2$ を $4x - y = 5$ に代入して

よって解は $x = 2$、$y = 3$ です。

検算: $2 \times 2 + 3 \times 3 = 4 + 9 = 13$、$4 \times 2 - 3 = 8 - 3 = 5$ でどちらも成り立ちます。式を何倍かするときは、右辺(数の項)にも忘れずに同じ数を掛けるのがポイントです。

1つめの式が「$y = \cdots$」の形なので、2つめの式の $y$ に $x + 1$ を代入します。

$x = 2$ を $y = x + 1$ に代入して

よって解は $x = 2$、$y = 3$ です。

検算: $3 = 2 + 1$、$2 \times 2 + 3 = 7$ でどちらも成り立ちます。

1つめの式は、分母 $2$ と $3$ の最小公倍数 $6$ を両辺に掛けて分母をはらいます。

2つめの式は、両辺を $10$ 倍して小数をなくします。

$x$ の係数をそろえるため、2つめの式を $3$ 倍すると $3x + 9y = 45$。ここから1つめの式をひくと

$y = 3$ を $x + 3y = 15$ に代入して

よって解は $x = 6$、$y = 3$ です。

検算は必ず「整理する前の元の式」で行います。$\dfrac{6}{2} + \dfrac{3}{3} = 3 + 1 = 4$、$0.1 \times 6 + 0.3 \times 3 = 0.6 + 0.9 = 1.5$ でどちらも成り立ちます。

右端の $8$ は数だけなので、「$x + y = 8$」と「$3x - y = 8$」の2本の組にします。

$y$ の係数が $+1$ と $-1$ なので、2つの式をたすと

$x = 4$ を $x + y = 8$ に代入して

よって解は $x = 4$、$y = 4$ です。

検算: $x + y = 4 + 4 = 8$、$3x - y = 12 - 4 = 8$ となり、3つの式がすべて $8$ で等しくなっています。

ノート1冊を $x$ 円、鉛筆1本を $y$ 円とします。2回の買い物の代金からそれぞれ式を作ると

2つめの式を $2$ 倍すると $2x + 10y = 740$。ここから1つめの式をひくと

$y = 50$ を $x + 5y = 370$ に代入して

ノート1冊120円、鉛筆1本50円です。値段はどちらも正の数なので問題に適しています。

検算: $2 \times 120 + 3 \times 50 = 240 + 150 = 390$ 円、$120 + 5 \times 50 = 120 + 250 = 370$ 円で、どちらの買い物の代金とも一致します。