答えと解説

連立方程式の解は、両方の式を同時に成り立たせる値の組です。それぞれ2つの式に代入して確かめます。

アの $x = 3$、$y = 3$ を代入すると

1つめの式: $3 + 3 = 6$ で成り立ちます。
2つめの式: $2 \times 3 - 3 = 6 - 3 = 3$ で成り立ちます。

両方成り立つので、アは解です。

イの $x = 2$、$y = 4$ を代入すると

1つめの式: $2 + 4 = 6$ で成り立ちます。
2つめの式: $2 \times 2 - 4 = 4 - 4 = 0$ となり、右辺の $3$ と一致しません。

イは1つめの式しか満たさないので解ではありません。「片方の式だけ成り立ってもだめ」というのが連立方程式の解の大切なポイントです。

$y$ の係数が $+1$ と $-1$ で絶対値がそろっているので、2つの式をそのままたすと $y$ が消去できます。

$x = 5$ を1つめの式 $x + y = 7$ に代入して

よって解は $x = 5$、$y = 2$ です。

検算: 1つめの式は $5 + 2 = 7$、2つめの式は $5 - 2 = 3$ で、どちらも成り立ちます。求めた解は必ず「元の2つの式」の両方に代入して確かめる習慣をつけましょう。

このままでは係数がそろっていないので、2つめの式の両辺を $2$ 倍して $x$ の係数を $2$ にそろえます。

1つめの式からこの式をひくと、$x$ が消去できます。

$y = 2$ を $x - y = 1$ に代入して

よって解は $x = 3$、$y = 2$ です。

検算: $2 \times 3 + 3 \times 2 = 6 + 6 = 12$、$3 - 2 = 1$ でどちらも成り立ちます。ひき算で消去するとき、$3y - (-2y) = 5y$ のように「ひく式の符号がすべて逆になる」ことに注意しましょう。ここが加減法でいちばんミスの出るところです。

1つめの式が「$y = \cdots$」の形なので、2つめの式の $y$ に $2x - 1$ を代入します。かっこをつけて代入するのがポイントです。

分配法則でかっこを外して

$x = 2$ を $y = 2x - 1$ に代入して

よって解は $x = 2$、$y = 3$ です。

検算: $3 = 2 \times 2 - 1$、$3 \times 2 + 2 \times 3 = 6 + 6 = 12$ でどちらも成り立ちます。$2(2x-1)$ を $4x - 1$ としてしまう(後ろの項に掛け忘れる)ミスが多いので、かっこの展開はていねいに行いましょう。

どちらの式もそのままでは係数がそろわないので、両方の式を何倍かします。$x$ の係数 $3$ と $2$ の最小公倍数 $6$ にそろえましょう。1つめの式を $2$ 倍、2つめの式を $3$ 倍すると

下の式から上の式をひくと、$x$ が消去できます。

$y = 1$ を元の1つめの式 $3x + 2y = 8$ に代入して

よって解は $x = 2$、$y = 1$ です。

検算: $3 \times 2 + 2 \times 1 = 6 + 2 = 8$、$2 \times 2 + 3 \times 1 = 4 + 3 = 7$ でどちらも成り立ちます。両方の式を何倍かするときは、右辺にも同じ数を掛けるのを忘れないようにしましょう。

かっこのある式は、まず分配法則で展開して整理します。1つめの式は

なので、連立方程式は次のように整理できます。

1つめの式を $2$ 倍すると $2x + 4y = 16$。ここから2つめの式をひくと

$y = 3$ を $2x + y = 7$ に代入して

よって解は $x = 2$、$y = 3$ です。

検算は展開する前の元の式で行います。$3 \times 2 - 2(2 - 3) = 6 - 2 \times (-1) = 6 + 2 = 8$、$2 \times 2 + 3 = 7$ でどちらも成り立ちます。$-2(x - y)$ の展開で後ろの項の符号を $-2y$ としてしまうミスに注意しましょう。マイナスを掛けるので $+2y$ になります。

分数をふくむ式は、分母の最小公倍数を両辺に掛けて分母をはらいます。1つめの式の分母は $2$ と $3$ なので、最小公倍数 $6$ を両辺に掛けると

これで連立方程式は次のようになります。

2つめの式を $2$ 倍すると $2x - 2y = 6$。1つめの式とたすと $y$ が消去できて

$x = 6$ を $x - y = 3$ に代入して

よって解は $x = 6$、$y = 3$ です。

検算は元の式で行います。$\dfrac{6}{2} + \dfrac{3}{3} = 3 + 1 = 4$、$6 - 3 = 3$ でどちらも成り立ちます。分母をはらうとき、右辺の $4$ にも $6$ を掛けるのを忘れないことが最大の注意点です。

小数をふくむ式は、両辺を $10$ 倍して係数を整数にします。1つめの式の両辺を $10$ 倍すると

これで連立方程式は次のようになります。

2つめの式を $2$ 倍すると $2x + 2y = 10$。1つめの式からこれをひくと

$x = 2$ を $x + y = 5$ に代入して

よって解は $x = 2$、$y = 3$ です。

検算は元の式で行います。$0.3 \times 2 + 0.2 \times 3 = 0.6 + 0.6 = 1.2$、$2 + 3 = 5$ でどちらも成り立ちます。$10$ 倍するとき、右辺の $1.2$ も $12$ にすること。左辺だけ $10$ 倍してしまうのが典型的なミスです。

$A = B = C$ 型の方程式は、2本の方程式の組に直して解きます。右端の $10$ は数だけなので、「$A = C$ と $B = C$」の組にすると計算が簡単です。

2つめの式の両辺を $3$ 倍すると $6x - 3y = 30$。$y$ の係数が $+3$ と $-3$ になったので、1つめの式とたすと

$x = 4$ を $2x - y = 10$ に代入して

よって解は $x = 4$、$y = -2$ です。

検算: $4 \times 4 + 3 \times (-2) = 16 - 6 = 10$、$2 \times 4 - (-2) = 8 + 2 = 10$ で、どちらの式の値も $10$ になり、3つの部分がすべて等しいことが確かめられます。解が負の数になることもあるので、符号の計算は最後までていねいに行いましょう。

りんご1個を $x$ 円、みかん1個を $y$ 円とします。「(単価)×(個数)の合計 =(代金)」という関係で、2回の買い物からそれぞれ式を作ると

$y$ の係数 $2$ と $5$ の最小公倍数 $10$ にそろえます。1つめの式を $5$ 倍、2つめの式を $2$ 倍すると

上の式から下の式をひくと

$x = 100$ を $3x + 2y = 460$ に代入して

よって、りんご1個100円、みかん1個80円です。値段はどちらも正の数なので問題に適しています。

検算: $3 \times 100 + 2 \times 80 = 300 + 160 = 460$ 円、$2 \times 100 + 5 \times 80 = 200 + 400 = 600$ 円で、問題文の2つの代金と一致します。文章題では、方程式の解が出たあとに「問題の条件に合うか」まで確かめてから答えるのが鉄則です。

歩いた道のりを $x$ m、走った道のりを $y$ m とします。「道のりの合計」と「時間の合計」でそれぞれ式を作るのが速さの文章題の定石です。時間は $(\text{時間}) = \dfrac{(\text{道のり})}{(\text{速さ})}$ で表せるので

2つめの式の分母 $60$ と $150$ の最小公倍数 $300$ を両辺に掛けて分母をはらうと

1つめの式を $2$ 倍すると $2x + 2y = 3000$。これを $5x + 2y = 4800$ からひくと

$x = 600$ を $x + y = 1500$ に代入して

よって、歩いた道のりは600m、走った道のりは900mです。どちらも正の数で、合計も1500mなので問題に適しています。

検算: 歩いた時間は $600 \div 60 = 10$ 分、走った時間は $900 \div 150 = 6$ 分で、合計 $10 + 6 = 16$ 分となり問題文と一致します。速さの問題では「道のりの式」と「時間の式」の単位がそれぞれそろっているかを必ず確認しましょう。

増減の基準になっているのは「昨年」の人数なので、昨年の男子を $x$ 人、昨年の女子を $y$ 人とおきます。ここが割合の文章題の最大のポイントで、今年の人数を文字にすると「5%増えた」という関係が式にしにくくなります。

昨年の合計から

増えた人数に注目します。男子は $x$ 人の $5$ % つまり $0.05x$ 人増え、女子は $y$ 人の $4$ % つまり $0.04y$ 人減って、全体では $7$ 人増えたので

両辺を $100$ 倍して

1つめの式を $4$ 倍すると $4x + 4y = 2000$。$y$ の係数が $-4$ と $+4$ なので、$5x - 4y = 700$ とたすと

$x = 300$ を $x + y = 500$ に代入して

よって、昨年の男子は300人、昨年の女子は200人です。

検算: 男子の増加は $300 \times 0.05 = 15$ 人、女子の減少は $200 \times 0.04 = 8$ 人なので、全体では $15 - 8 = 7$ 人の増加となり、問題文と一致します。「増えた人数どうしの式」を作ると係数が小さくなって計算が楽です。今年の人数の式 $1.05x + 0.96y = 507$ を作っても同じ答えになります。

「解が $x = 2$、$y = 1$」ということは、この値の組を代入すると2つの式がどちらも成り立つということです。代入すると、今度は $a$ と $b$ についての連立方程式ができます。

1つめの式に代入: $2a + b = 10$

2つめの式に代入: $2b - a = 5$

つまり

1つめの式を「$b = \cdots$」の形にすると $b = 10 - 2a$。これを2つめの式に代入して(代入法)

$a = 3$ を $b = 10 - 2a$ に代入して

よって $a = 3$、$b = 4$ です。

検算: 元の連立方程式は $3x + 4y = 10$、$4x - 3y = 5$ となります。$x = 2$、$y = 1$ を代入すると、$3 \times 2 + 4 \times 1 = 6 + 4 = 10$、$4 \times 2 - 3 \times 1 = 8 - 3 = 5$ で、確かに $(2, 1)$ が解になっています。「解がわかっている → 代入すると文字の方程式ができる」という発想は入試でも頻出です。

十の位の数を $x$、一の位の数を $y$ とすると、もとの数は $10x + y$、位を入れかえた数は $10y + x$ と表せます。「2けたの数 = 10 ×(十の位)+(一の位)」という表し方が、この型の問題のカギです。

各位の数の和が12であることから

入れかえた数がもとの数より18小さいことから

2つめの式を整理します。左辺の項を右辺に移項すると

両辺を $9$ で割って

これで連立方程式は次のようになります。

2つの式をたすと $2x = 14$ より $x = 7$。$x = 7$ を $x + y = 12$ に代入して $y = 5$。

$x = 7$、$y = 5$ はどちらも1けたの自然数($1$ から $9$ の範囲。十の位は $0$ 不可)なので問題に適しており、もとの数は

検算: 各位の和は $7 + 5 = 12$ で条件に合います。入れかえた数は $57$ で、$75 - 57 = 18$ より、確かにもとの数より18小さくなっています。位の数を入れかえる問題では、「$75$ と $57$」のように具体的な数でイメージしてから式を立てると間違えにくくなります。