三角形と四角形

2つの辺が等しい三角形を二等辺三角形といいます。これが二等辺三角形の「定義」です。定義とは、言葉の意味をはっきり決めた文のことで、証明のスタート地点になります。二等辺三角形で、等しい2辺の間の角を頂角、頂角に向かい合う辺を底辺、底辺の両端の角を底角といいます。

なぜ底角が等しくなるのか、証明で確かめてみましょう。$AB = AC$ の二等辺三角形 $ABC$ で、$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ との交点を $D$ とします。$\triangle ABD$ と $\triangle ACD$ において、仮定から $AB = AC$、$\angle BAD = \angle CAD$、また $AD$ は共通です。2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので $\triangle ABD \equiv \triangle ACD$ となり、対応する角として $\angle B = \angle C$ がいえます。さらに $BD = CD$、$\angle ADB = \angle ADC = 90^\circ$ もいえるので、定理2も同時に証明できたことになります。

「ならば」でつながれた文の、仮定と結論を入れかえたものを「逆」といいます。たとえば「二等辺三角形ならば2つの角が等しい」の逆は「2つの角が等しい三角形ならば二等辺三角形」で、これは正しいことが証明できます。ただし、逆はいつでも正しいとは限りません。たとえば「$x = 2$ ならば $x^2 = 4$」は正しいですが、逆の「$x^2 = 4$ ならば $x = 2$」は $x = -2$ という反例があるので正しくありません。あることがらが正しくないことを示すには、反例を1つあげれば十分です。

直角三角形で、直角に向かい合う辺を斜辺といいます。直角三角形どうしの合同を示すときは、三角形の合同条件(3辺 / 2辺とその間の角 / 1辺とその両端の角)に加えて、直角三角形だけで使える特別な合同条件があります。

なぜこれで合同がいえるのでしょうか。条件1では、直角と1つの鋭角が等しければ、内角の和が $180^\circ$ であることから残りの鋭角も等しくなります。すると「1組の辺(斜辺)とその両端の角がそれぞれ等しい」がいえるので合同です。

条件2では、2つの直角三角形の等しい辺どうしをぴったり重ねて背中合わせに置くと、斜辺が等しいことから全体が二等辺三角形になります。二等辺三角形の底角は等しいので鋭角が等しいことがわかり、条件1に帰着して合同がいえます。「直角三角形なら、間の角でなくても2辺の情報で合同がいえる」のがポイントです。

2組の対辺(向かい合う辺)がそれぞれ平行な四角形を平行四辺形といいます。これが定義です。四角形 $ABCD$ が平行四辺形であることを、記号で $\square ABCD$ と書くことがあります。定義から出発すると、次の3つの性質(定理)が証明できます。

性質1を証明してみましょう。平行四辺形 $ABCD$ に対角線 $AC$ をひきます。$\triangle ABC$ と $\triangle CDA$ において、$AB \parallel DC$ より錯角が等しいので $\angle BAC = \angle DCA$、$AD \parallel BC$ より錯角が等しいので $\angle BCA = \angle DAC$、そして $AC$ は共通です。1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので $\triangle ABC \equiv \triangle CDA$ となり、$AB = CD$、$BC = DA$ がいえます。「対角線をひいて三角形の合同にもちこむ」のが四角形の証明の基本作戦です。

隣り合う内角については、$AD \parallel BC$ より同側内角(となり合う角)の和が $180^\circ$ になるので、たとえば $\angle A + \angle B = 180^\circ$ が成り立ちます。角度の計算でよく使います。

平行四辺形の仲間には、特別な形が3つあります。4つの角がすべて等しい四角形を長方形、4つの辺がすべて等しい四角形をひし形、4つの角がすべて等しく4つの辺もすべて等しい四角形を正方形といいます(いずれも定義)。どれも「2組の対辺がそれぞれ等しい」などの条件を満たすので、平行四辺形の性質をすべてもっています。そのうえで、対角線に次の特徴が加わります。

たとえば長方形 $ABCD$ で対角線の長さが等しいことは、$\triangle ABC$ と $\triangle DCB$ において $AB = DC$(平行四辺形の対辺)、$\angle ABC = \angle DCB = 90^\circ$、$BC$ が共通であることから、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので $\triangle ABC \equiv \triangle DCB$、よって $AC = DB$ と証明できます。逆に、平行四辺形に「対角線の長さが等しい」を付け加えると長方形に、「対角線が垂直に交わる」を付け加えるとひし形になります。

次に、平行線と面積の関係を学びます。三角形の面積は「底辺 × 高さ ÷ 2」で決まるので、底辺が共通なら、高さが等しい三角形どうしは面積が等しくなります。