答えと解説

二等辺三角形の2つの底角は等しいこと、三角形の内角の和は $180^\circ$ であることを使います。

(1) $\angle B = \angle C$(底角)だから、$\angle B + \angle C = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$ より

(2) $\angle B = \angle C = 65^\circ$ だから

検算として、(1) は $40^\circ + 70^\circ + 70^\circ = 180^\circ$、(2) は $50^\circ + 65^\circ + 65^\circ = 180^\circ$ となり、どちらも内角の和が $180^\circ$ になっています。「頂角がわかれば、底角は 180° から頂角を引いて 2 で割る」と覚えておくと速いです。

直角三角形の合同条件は「斜辺と1つの鋭角」「斜辺と他の1辺」の2つです。

(1) 直角と1つの鋭角が等しければ、内角の和が $180^\circ$ なので残りの鋭角も等しくなります。すると斜辺とその両端の角がそれぞれ等しいことになるので、必ず合同です。

(2) 直角三角形どうしを等しい辺で背中合わせに貼り合わせると、斜辺が等しいことから二等辺三角形ができ、底角が等しいことから鋭角が等しいとわかります。よって (1) に帰着でき、必ず合同です。

(3) 2つの鋭角が等しくても、辺の長さの情報が1つもありません。同じ形で大きさの違う直角三角形(たとえば3つの角が $90^\circ$、$60^\circ$、$30^\circ$ の大小2つの三角形)が反例になるので、合同とはいえません。

合同条件には「辺の情報が少なくとも1つ必要」という点をおさえておきましょう。角の情報だけでは大きさが決まりません。

平行四辺形の3つの性質をそのまま使う問題です。

(1) $AD \parallel BC$ で、$\angle A$ と $\angle B$ は同側内角だから

対角は等しいから $\angle C = \angle A = 110^\circ$。

(2) 対辺はそれぞれ等しいから

(3) 対角線はそれぞれの中点で交わるから、$O$ は $AC$ の中点で

検算として、4つの内角の和は $110^\circ + 70^\circ + 110^\circ + 70^\circ = 360^\circ$ となり、四角形の内角の和と一致します。「対辺・対角・対角線」の3点セットで覚えましょう。

平行四辺形になるための5つの条件に照らして判断します。

(1) 対辺 $AB$ と $DC$ について「平行」と「長さが等しい」の両方が成り立っているので、条件5「1組の対辺が平行で、その長さが等しい」にあてはまり、必ず平行四辺形になります。

(2) 条件2「2組の対辺がそれぞれ等しい」にあてはまるので、必ず平行四辺形になります。

(3) 「平行なのは $AB$ と $DC$ の組」なのに「長さが等しいのは $AD$ と $BC$ の組」で、組がそろっていません。$AB \parallel DC$ で $AD = BC$ となる四角形には、平行四辺形でない等脚台形(脚の長さが等しい台形)があるので、反例が存在し、平行四辺形になるとはいえません。

(3) のように「平行の組」と「等しい組」がずれているひっかけは定期テストの定番です。条件5は必ず同じ1組の対辺について両方が成り立つ必要があります。

「平行線の間にある、底辺が共通な三角形は面積が等しい」を使います。

(1) $\triangle ABC$ と $\triangle DBC$ は、底辺 $BC$ が共通です。頂点 $A$ と頂点 $D$ はどちらも直線 $BC$ に平行な直線 $AD$ 上にあるので、高さ(平行線間の距離)が等しく

(2) $\triangle ABD$ と $\triangle ACD$ は、底辺 $AD$ が共通です。頂点 $B$ と頂点 $C$ はどちらも直線 $AD$ に平行な直線 $BC$ 上にあるので、高さが等しく

「共通の底辺はどれか」「動かす頂点はどの平行線の上にあるか」の2つを確認するのが等積変形の手順です。底辺を平行線のどちら側にとるかで、2通りの組が見つかります。

結論 $CD = BE$ の2つの線分を、それぞれ辺にもつ三角形の合同を示す方針を立てます。$CD$ は $\triangle ACD$ の辺、$BE$ は $\triangle ABE$ の辺です。

【証明】 $\triangle ACD$ と $\triangle ABE$ において、

仮定より $AC = AB$ …①

仮定より $AD = AE$ …②

$\angle A$ は共通 …③

①、②、③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので

合同な図形の対応する辺は等しいから

【証明終】

証明を書くときは、「どの三角形とどの三角形か」を最初に宣言し、根拠(仮定・共通・定理)を1つずつ添えて等しいものを3つそろえ、合同条件を正確な言葉で述べる、という型を守りましょう。対応する頂点の順番($A \to A$、$C \to B$、$D \to E$)をそろえて書くことも大切です。

垂線が2本あるので直角三角形の合同条件が使える形です。$\angle B = \angle C$ を示せば、「2つの角が等しい三角形は二等辺三角形」の定理で結論にたどりつけます。

【証明】 $\triangle DBM$ と $\triangle ECM$ において、

仮定より $\angle BDM = \angle CEM = 90^\circ$ …①

$M$ は辺 $BC$ の中点だから $BM = CM$ …②

仮定より $MD = ME$ …③

①、②、③より、直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので

合同な図形の対応する角は等しいから

2つの角が等しい三角形は二等辺三角形だから、$\triangle ABC$ は $AB = AC$ の二等辺三角形である。 【証明終】

直角三角形 $DBM$、$ECM$ の斜辺は、直角 $\angle BDM$、$\angle CEM$ に向かい合う辺、つまり $BM$、$CM$ です。「どの辺が斜辺か」を図で確かめてから合同条件を選ぶのがミスを防ぐコツです。

$AE$ をふくむ $\triangle ABE$ と、$CF$ をふくむ $\triangle CDF$ の合同を目指します。平行四辺形の性質(対辺が等しい)と、平行線の錯角を材料にします。

【証明】 $\triangle ABE$ と $\triangle CDF$ において、

平行四辺形の対辺は等しいから $AB = CD$ …①

仮定より $BE = DF$ …②

$AB \parallel DC$ より、平行線の錯角は等しいから $\angle ABE = \angle CDF$ …③

①、②、③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので

合同な図形の対応する辺は等しいから

【証明終】

③の錯角は、平行な2直線 $AB$、$DC$ を対角線 $BD$ が横切ってできる角 $\angle ABD$ と $\angle CDB$ のことです。平行四辺形の証明問題では、「対辺が等しい」「対角線が中点で交わる」「平行だから錯角が等しい」の3つが材料の定番です。なお、この図では $AE \parallel CF$ もいえるので、四角形 $AECF$ が平行四辺形になることも示せます。

四角形 $MBND$ の対辺は「$MB$ と $ND$」「$BN$ と $DM$」の2組です。このうち $BN$ と $DM$ は、もとの平行四辺形の平行な辺 $BC$、$AD$ の上にのっているので、条件5「1組の対辺が平行で、その長さが等しい」を目指すのが最短です。

【証明】 四角形 $MBND$ において、

$M$ は辺 $AD$ 上、$N$ は辺 $BC$ 上の点で、平行四辺形 $ABCD$ の対辺 $AD$、$BC$ は平行だから

$MD \parallel BN$ …①

平行四辺形の対辺は等しいから $AD = BC$。$M$、$N$ はそれぞれ $AD$、$BC$ の中点だから

すなわち $MD = BN$ …②

①、②より、四角形 $MBND$ は1組の対辺 $MD$、$BN$ が平行でその長さが等しいから、平行四辺形である。 【証明終】

「半分どうしが等しい」ことをいうために、まず全体($AD = BC$)が等しいことを述べるのがポイントです。この手の問題では、どの2辺が四角形の「対辺」なのか、頂点の順(M → B → N → D)をたどって確かめてから方針を決めましょう。

(1) まず $\triangle ABC$ の底角を求めます。$\angle A = 36^\circ$ だから

$BD$ は $\angle ABC$ の二等分線だから

$\triangle BCD$ の内角の和より

(2)【証明】 (1) より $\angle BDC = 72^\circ$、また $\angle BCD = \angle ACB = 72^\circ$ だから

2つの角が等しい三角形は二等辺三角形だから、$\triangle BCD$ は $BC = BD$ の二等辺三角形である。 【証明終】

さらに $\triangle ABD$ でも $\angle DAB = \angle DBA = 36^\circ$ となるので $DA = DB$ がいえます。頂角 $36^\circ$ の二等辺三角形は、底角の二等分線で「もとの三角形と同じ形の二等辺三角形」が現れる有名な図形で、入試でもよく出題されます。検算は $\triangle ABD$ の内角 $36^\circ + 36^\circ + 108^\circ = 180^\circ$ で確認できます($\angle ADB = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$)。

直接 $\triangle ABO$ と $\triangle DCO$ を比べるのは難しいので、「面積の等しい大きな三角形から、共通部分を取り除く」方針を立てます。

【証明】 $\triangle ABC$ と $\triangle DBC$ において、底辺 $BC$ は共通である。

また、$AD \parallel BC$ より、頂点 $A$、$D$ から直線 $BC$ までの距離(高さ)は等しい。

底辺と高さがそれぞれ等しいから

$\triangle ABC = \triangle DBC$ …①

ここで、$O$ は対角線の交点だから、$\triangle OBC$ は $\triangle ABC$ と $\triangle DBC$ の共通部分であり

$\triangle ABO = \triangle ABC - \triangle OBC$ …②

$\triangle DCO = \triangle DBC - \triangle OBC$ …③

①、②、③より

【証明終】

「等しいものから同じものを引いた残りは等しい」という単純な理屈ですが、答案では②、③のように引き算の式をきちんと書くことが大切です。台形の対角線がつくるこの面積の関係は、等積変形の代表例として覚えておきましょう。

$DC$ をふくむ $\triangle ADC$ と、$BE$ をふくむ $\triangle ABE$ の合同を目指します。正三角形の定義(3辺が等しい)と、正三角形の1つの内角が $60^\circ$ であることが材料です。間の角が「$60^\circ$ + 共通の角」という形で等しくなるのがこの問題の核心です。

【証明】 $\triangle ADC$ と $\triangle ABE$ において、

$\triangle ABD$ は正三角形だから $AD = AB$ …①

$\triangle ACE$ は正三角形だから $AC = AE$ …②

また、正三角形の1つの内角は $60^\circ$ だから

よって $\angle DAC = \angle BAE$ …③

①、②、③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので

合同な図形の対応する辺は等しいから

【証明終】

角を「共通部分に同じ角度を足した和」として表すこの手法は、正三角形や正方形を図形の外側にはり付けるタイプの入試問題で繰り返し使われます。$\angle DAC$ と $\angle BAE$ が、どちらも $\angle BAC$ に $60^\circ$ を加えた角であることを、式で明示するのが減点されない書き方です。

(1)【証明】 $\triangle ABD$ と $\triangle CAE$ において、

仮定より $\angle ADB = \angle CEA = 90^\circ$ …①

仮定より $AB = CA$ …②

$\triangle ABD$ の内角の和より $\angle ABD + \angle BAD = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ …③

また、$D$、$A$、$E$ は一直線 $\ell$ 上の点で、$\angle BAC = 90^\circ$ だから

これを④とする。③、④より、どちらも $\angle BAD$ との和が $90^\circ$ だから

$\angle ABD = \angle CAE$ …⑤

①、②、⑤より、直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので

【証明終】

(2) (1) の合同で対応する辺は等しいから

$D$、$A$、$E$ は一直線上にあり、$A$ は $D$ と $E$ の間にあるから

よって $DE = BD + CE$ が成り立ちます。

この問題の急所は⑤の角の等しさです。「同じ角($\angle BAD$)に足して $90^\circ$ になる角どうしは等しい」という論法は、直角がからむ合同証明の最重要テクニックで、正方形の折り返しや座標の問題でも登場します。対応にも注意しましょう。$BD$ に対応するのは $AE$ であって $CE$ ではありません($B \to A$、$D \to E$ の対応から読み取ります)。

四角形を対角線 $AC$ で2つの三角形に分け、片方の $\triangle ACD$ を、面積を変えずに $\triangle ACE$ に取りかえる(等積変形する)のが方針です。

【証明】 対角線 $AC$ により、四角形 $ABCD$ は $\triangle ABC$ と $\triangle ACD$ に分けられるから

(四角形 $ABCD$ の面積) $= \triangle ABC + \triangle ACD$ …①

$\triangle ACD$ と $\triangle ACE$ において、底辺 $AC$ は共通である。

また、仮定より $DE \parallel AC$ だから、頂点 $D$、$E$ から直線 $AC$ までの距離(高さ)は等しい。

底辺と高さがそれぞれ等しいから

$\triangle ACD = \triangle ACE$ …②

$E$ は辺 $BC$ の延長上の点だから、$B$、$C$、$E$ は一直線上にあり、$\triangle ABC$ と $\triangle ACE$ を合わせた図形は $\triangle ABE$ になる。よって

$\triangle ABE = \triangle ABC + \triangle ACE$ …③

①、②、③より

(四角形 $ABCD$ の面積) $= \triangle ABC + \triangle ACE = \triangle ABE$

【証明終】

これは「四角形を、面積を変えずに三角形に直す」作図の代表問題で、公立高校入試の頻出テーマです。手順は、(ア) 消したい頂点 $D$ から対角線 $AC$ に平行な直線をひく、(イ) 底辺の延長との交点 $E$ をとる、(ウ) $D$ を $E$ に取りかえる、の3段階です。平行線をひく相手が「消したい頂点をはさむ2点を結んだ対角線」であることをおさえておきましょう。