練習問題

次の二等辺三角形について、角の大きさを求めなさい。
(1) $AB = AC$ の二等辺三角形 $ABC$ で、頂角 $\angle A = 40^\circ$ のときの底角 $\angle B$ の大きさ
(2) $AB = AC$ の二等辺三角形 $ABC$ で、底角 $\angle B = 65^\circ$ のときの頂角 $\angle A$ の大きさ

2つの直角三角形について、次の各場合に、2つの三角形は必ず合同であるといえますか。いえる場合はその合同条件を答え、いえない場合は「いえない」と答えなさい。
(1) 斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい
(2) 斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい
(3) 2つの鋭角がそれぞれ等しい

平行四辺形 $ABCD$ で、$\angle A = 110^\circ$、$AB = 5 \ \mathrm{cm}$、$BC = 8 \ \mathrm{cm}$ であり、対角線 $AC$ と $BD$ の交点を $O$ とすると $AC = 12 \ \mathrm{cm}$ である。次のものを求めなさい。
(1) $\angle B$ と $\angle C$ の大きさ
(2) 辺 $CD$ と辺 $AD$ の長さ
(3) 線分 $AO$ の長さ

四角形 $ABCD$ が次の条件を満たすとき、必ず平行四辺形になるといえますか。いえる場合はその根拠となる条件を答え、いえない場合は「いえない」と答えなさい。
(1) $AB \parallel DC$、$AB = DC$
(2) $AB = DC$、$AD = BC$
(3) $AB \parallel DC$、$AD = BC$

$AD \parallel BC$ の台形 $ABCD$ がある。
(1) $\triangle ABC$ と面積が等しい三角形を1つ答えなさい。
(2) $\triangle ABD$ と面積が等しい三角形を1つ答えなさい。

$AB = AC$ の二等辺三角形 $ABC$ で、辺 $AB$ 上に点 $D$、辺 $AC$ 上に点 $E$ を、$AD = AE$ となるようにとる。このとき $CD = BE$ であることを証明しなさい。

$\triangle ABC$ の辺 $BC$ の中点を $M$ とし、$M$ から辺 $AB$、$AC$ に垂線 $MD$、$ME$ をひく($D$ は辺 $AB$ 上、$E$ は辺 $AC$ 上の点)。$MD = ME$ ならば、$\triangle ABC$ は $AB = AC$ の二等辺三角形であることを証明しなさい。

平行四辺形 $ABCD$ の対角線 $BD$ 上に、$BE = DF$ となる点 $E$、$F$ をとる($E$ は $B$ に近い側、$F$ は $D$ に近い側とする)。このとき $AE = CF$ であることを証明しなさい。

平行四辺形 $ABCD$ の辺 $AD$ の中点を $M$、辺 $BC$ の中点を $N$ とする。このとき四角形 $MBND$ は平行四辺形であることを証明しなさい。

$AB = AC$、$\angle A = 36^\circ$ の二等辺三角形 $ABC$ で、$\angle B$ の二等分線と辺 $AC$ との交点を $D$ とする。
(1) $\angle BDC$ の大きさを求めなさい。
(2) $\triangle BCD$ が二等辺三角形であることを証明しなさい。

$AD \parallel BC$ の台形 $ABCD$ の対角線 $AC$ と $BD$ の交点を $O$ とする。このとき $\triangle ABO$ と $\triangle DCO$ の面積が等しいことを証明しなさい。

$\triangle ABC$ の外側に、辺 $AB$ を1辺とする正三角形 $ABD$ と、辺 $AC$ を1辺とする正三角形 $ACE$ をつくる。このとき $DC = BE$ であることを証明しなさい。

$\angle A = 90^\circ$、$AB = AC$ の直角二等辺三角形 $ABC$ がある。頂点 $A$ を通り辺 $BC$ と交わらない直線 $\ell$ をひき、$B$、$C$ から $\ell$ に垂線 $BD$、$CE$ をひく($D$、$E$ は $\ell$ 上の点)。
(1) $\triangle ABD \equiv \triangle CAE$ を証明しなさい。
(2) $DE = BD + CE$ であることを示しなさい。

四角形 $ABCD$ がある(頂点 $A$、$B$、$C$、$D$ はこの順に並んでいるものとする)。対角線 $AC$ をひき、頂点 $D$ を通り $AC$ に平行な直線と、辺 $BC$ を $C$ の方へ延長した直線との交点を $E$ とする。このとき、$\triangle ABE$ の面積は四角形 $ABCD$ の面積と等しいことを証明しなさい。