式の計算

$3x$ や $-5a^2b$ のように、数や文字の乗法だけでつくられた式を単項式といいます。$5$ のような数だけの項も単項式の仲間です。いっぽう、$2x + 3y - 1$ のように、単項式の和の形で表された式を多項式といい、1つ1つの単項式 $2x$、$3y$、$-1$ をその多項式の項といいます。

単項式で掛け合わされている文字の個数を、その単項式の次数といいます。たとえば $3x^2$ は $x$ が2個掛けられているので次数は $2$、$-4a^2b$ は $a$ が2個と $b$ が1個で次数は $3$ です。多項式では、各項の次数のうちもっとも大きいものを、その多項式の次数といいます。次数が $1$ の式を1次式、次数が $2$ の式を2次式とよびます。

多項式の中で、文字の部分が同じ項を同類項といいます。同類項は、分配法則 $ma + na = (m+n)a$ を使って1つの項にまとめることができます。なぜまとめられるかというと、たとえば $3x + 5x$ は「$x$ が3個と $x$ が5個で、合わせて $x$ が8個」だからです。ただし $3x^2$ と $2x$ は、文字の部分($x^2$ と $x$)がちがうので同類項ではなく、まとめることはできません。

多項式どうしの加法は、かっこをそのまま外して同類項をまとめます。減法は「ひく式の各項の符号を変えて加える」のがルールです。なぜなら、$-(2a - 3b)$ は $(-1) \times (2a - 3b)$ のことなので、分配法則で $-2a + 3b$ となるからです。かっこの前がマイナスのとき、後ろの項の符号を変え忘れるミスがとても多いので注意しましょう。

多項式と数の乗法は、分配法則を使ってかっこの中のすべての項に数を掛けます。除法は、割る数の逆数を掛ける形に直すか、各項をそれぞれ割ります。たとえば $(8a - 12b) \div 4$ は、$8a \div 4 = 2a$、$-12b \div 4 = -3b$ より $2a - 3b$ です。

分数の形の式の加減は、通分してから分子どうしを計算します。分子には多項式全体が入るので、かっこをつけて計算するのが安全です。

単項式どうしの乗法は、係数どうしの積と文字どうしの積をそれぞれ計算して掛け合わせます。たとえば $3x \times (-4y) = 3 \times (-4) \times x \times y = -12xy$ です。同じ文字の積は、$x \times x = x^2$ のように累乗の指数で表します。

累乗を含むときは、まず累乗の部分を計算してから掛けます。$(-2x)^2$ は $(-2x) \times (-2x) = 4x^2$ であり、$-2x^2$ とはちがうことに注意しましょう。

除法は、分数の形に直して約分するのが基本です。たとえば

のように、係数どうし、文字どうしで約分します。割る式が分数のときは、逆数を掛ける形に直します。乗法と除法が混ざった式では、割る部分だけを逆数にして、全体を1つの分数にまとめると計算ミスが減ります。

文字式を使うと、「どんな整数でも成り立つ」性質を説明できます。たとえば偶数は「2で割り切れる数」なので、整数 $n$ を使って $2n$ と表せます。奇数は偶数より $1$ 大きい数なので $2n + 1$ と表せます。具体的な数で確かめるだけでは「すべての場合」を調べたことにはなりませんが、文字で表せば一度にすべての整数について説明できるのです。

$2x + 3y = 6$ のような等式を、$y = 2 - \dfrac{2}{3}x$ のように目的の文字だけを左辺に残す形に直すことを、「$y$ について解く」といいます。これを等式の変形といい、方程式を解くときと同じように、移項したり両辺を同じ数で割ったりして変形します。面積や体積の公式から、求めたい文字を取り出すときに役立ちます。