答えと解説

(1) 多項式の項は、和の形に直したときの1つ1つの単項式です。

なので、項は $3x^2$、$-2x$、$5$ の3つです。符号まで含めて「$-2x$」と答えることに注意しましょう。各項の次数は順に $2$、$1$、$0$ で、多項式の次数はそのうち最大の $2$ です。

(2) $-4a^2b$ の数の部分が係数なので、係数は $-4$ です。文字は $a$ が2個、$b$ が1個掛け合わされているので、次数は $2 + 1 = 3$ です。次数は「文字の種類の数」ではなく「掛け合わされている文字の個数」であることに注意しましょう。

同類項(文字の部分が同じ項)どうしを、係数の和でまとめます。

(1) $x$ の項と $y$ の項に分けて

(2) $a^2$ の項、$a$ の項、数の項の3種類に分けます。

$a^2$ と $a$ は文字の部分がちがうので、まとめてはいけません。移動するとき、項の前の符号ごといっしょに動かすのがミスを防ぐコツです。

(1) 加法はかっこをそのまま外して同類項をまとめます。

(2) 減法は、ひく式のすべての項の符号を変えて外します。$2a$ は $-2a$ に、$-7b$ は $+7b$ になります。

かっこの前がマイナスのとき、2つ目の項 $-7b$ の符号の変え忘れがいちばん多いミスです。外した直後の式を必ず書いてから、同類項をまとめましょう。

(1) 分配法則で、かっこの中のすべての項に $3$ を掛けます。

(2) 各項をそれぞれ $4$ で割ります。

除法は $\dfrac{8a - 12b}{4}$ という分数の形に直して約分してもかまいません。「最初の項だけ割って、$8a \div 4 - 12b$ としてしまう」ミスに注意。すべての項に同じ操作をするのが分配法則です。

(1) 係数どうし、文字どうしをそれぞれ掛けます。

正の数と負の数の積なので、符号はマイナスです。

(2) 分数の形に直して約分します。

係数は $8 \div 2 = 4$、文字は $a$ が分母・分子で約分されて $b$ だけが残るので

検算として、答え $4b$ に割る式 $2a$ を掛けると $4b \times 2a = 8ab$ となり、元の式に戻ることが確認できます。

「分配法則でかっこを外す → 同類項をまとめる」の2段階で計算します。

(1) それぞれのかっこを外します。$-3$ を掛けるときは符号に注意して

同類項をまとめて

(2) 同じように、$-2$ を両方の項に掛けます。$-2 \times (-7b) = +14b$ です。

負の数を掛けるときの「マイナス × マイナス = プラス」を丁寧に処理するのがポイントです。かっこを外した式を省略せずに書けば、符号ミスはほぼ防げます。

分母 $2$ と $3$ の最小公倍数 $6$ で通分します。分子にはかっこをつけて

分子のかっこを外します。$-2 \times (-y) = +2y$ に注意して

分子の同類項をまとめて

この計算の最大の落とし穴は、2つ目の分数の分子 $x - y$ 全体にマイナスがかかることです。「$- 2(x-y)$」とかっこごと書いてから外せば、$-2x + 2y$ と正しく計算できます。答えの分子 $7x + 5y$ はこれ以上約分できないので、これで完成です。

(1) 累乗を先に計算します。$(-3a)^2 = (-3a) \times (-3a) = 9a^2$ なので

$(-3a)^2$ を $-9a^2$ としてしまうミスが非常に多いところです。かっこ全体が2乗されているので、符号もプラスになります。

(2) 割るのは $4xy$ だけなので、$4xy$ を分母にして1つの分数にまとめます。

分子は $12x^2y \times 3y = 36x^2y^2$ だから

係数は $36 \div 4 = 9$、文字は $x^2y^2 \div xy = xy$ です。検算として左から順に計算しても、$12x^2y \div 4xy = 3x$、$3x \times 3y = 9xy$ となり一致します。

そのまま代入せず、先に式を簡単にするのが定石です。かっこを外して

同類項をまとめて

ここで $x = 2$、$y = -3$ を代入します。負の数はかっこをつけて代入すると安全です。

先に式を整理してから代入すると、計算量が減ってミスも減ります。「式の値を求めよ」と言われたら、まず「簡単にできないか?」と考える習慣をつけましょう。

(1) $y$ を含む項だけを左辺に残します。$2x$ を右辺に移項して

両辺を $3$ で割って

$y = 2 - \dfrac{2}{3}x$ と書いても正解です。

(2) 台形の面積の公式です。まず両辺を入れかえ、分数をなくすために両辺に $2$ を掛けます。

両辺を $h$ で割って

$b$ を右辺に移項して

等式の変形は「方程式を解く」のと同じ操作(移項、両辺に同じ数を掛ける・割る)です。目的の文字以外はすべて数とみなして進めましょう。

奇数は「偶数より $1$ 大きい数」なので、整数を使って $2m + 1$ の形に表せます。ここで大切なのは、2つの奇数は同じ数とは限らないので、別々の文字 $m$、$n$ を使うことです。

【説明】 $m$、$n$ を整数とすると、2つの奇数は $2m + 1$、$2n + 1$ と表せる。この2つの数の和は

$m + n + 1$ は整数だから、$2(m + n + 1)$ は偶数である。したがって、2つの奇数の和は偶数になる。

もし両方を $2n + 1$ と表すと、「同じ奇数どうしの和」しか説明したことになりません。また、最後の「$m + n + 1$ は整数だから」という一文は、2 ×(整数)の形になっている(=偶数の定義に当てはまる)ことを示す大事な部分なので、必ず書きましょう。

2けたの自然数は、位の数を使って $10a + b$ と表せます(十の位が $a$ なので $10$ が $a$ 個、一の位が $b$)。入れかえてできる数は、十の位が $b$、一の位が $a$ になるので $10b + a$ です。

(1) 2つの数の和を計算します。

$a + b$ は整数だから、$11(a + b)$ は11の倍数です。したがって、和は11の倍数になります。

(2) 2つの数の差を計算します。かっこを外すときの符号に注意して

$a - b$ は整数だから、$9(a - b)$ は9の倍数です。したがって、差は9の倍数になります。

具体例で確かめると、$52 + 25 = 77 = 11 \times 7$、$52 - 25 = 27 = 9 \times 3$ となり、確かに成り立っています。「2けたの数 $= 10a + b$」という表し方は入試で非常によく使われるので、必ず使えるようにしておきましょう。

カレンダーは横に7日ずつ並んでいるので、ある数 $n$ に対して、すぐ上の数は7日前の $n - 7$、すぐ下の数は7日後の $n + 7$ です。また、左の数は $n - 1$、右の数は $n + 1$ です。

【説明】 中央の数を $n$ とすると、十字に囲んだ5つの数は

と表せる。この5つの数の和は

したがって、5つの数の和は中央の数 $n$ の5倍になる。

$-7$ と $+7$、$-1$ と $+1$ がそれぞれ打ち消し合うので、$n$ の項だけが残るのがこの問題のしくみです。具体例で確かめると、中央を $10$ とすれば $3 + 9 + 10 + 11 + 17 = 50 = 5 \times 10$ で成り立ちます。カレンダー問題では「上下は $\pm 7$、左右は $\pm 1$」という位置関係の式化がすべてです。

(1) まず両辺を入れかえて、$h$ を含む項を左辺にします。

分数をなくすために両辺に $3$ を掛けて

両辺を $\pi r^2$ で割って($\pi r^2$ は $0$ ではないので割ることができます)

(2) (1) の式に $V = 12\pi$、$r = 3$ を代入します。

分母と分子の $\pi$ を約分し、$36 \div 9 = 4$ より

検算として、$h = 4$ を元の公式に代入すると $V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 9 \times 4 = 12\pi$ となり、確かに一致します。等式の変形は「公式から知りたい量を取り出す道具」であり、このように理科や図形の計算で実際に活躍します。