答えと解説

使うのは円周角の定理「円周角は、同じ弧に対する中心角の半分」です。

(1) 中心角が $100^\circ$ なので、円周角はその半分で

(2) 今度は円周角から中心角を求めるので、逆に2倍します。

検算として、(1) は $50^\circ \times 2 = 100^\circ$、(2) は $70^\circ \div 2 = 35^\circ$ と、もとの角にもどることを確かめましょう。「どちらが半分でどちらが2倍か」を迷ったら、「中心角の方が大きい」と覚えておくと間違えません。

使うのは「同じ弧に対する円周角は等しい」という性質です。どの弧に対する円周角かは、角の両端の点で判断します。

(1) $\angle \mathrm{BAC}$ は、頂点が $\mathrm{A}$ で、両端が $\mathrm{B}$ と $\mathrm{C}$ の角なので、弧 $\mathrm{BC}$($\mathrm{A}$ を含まない側)に対する円周角です。$\angle \mathrm{BDC}$ も、両端が $\mathrm{B}$ と $\mathrm{C}$ で、頂点 $\mathrm{D}$ はその弧の上にないので、同じ弧 $\mathrm{BC}$ に対する円周角です。よって

(2) 同じように、$\angle \mathrm{DBC}$ と $\angle \mathrm{DAC}$ は、どちらも弧 $\mathrm{DC}$($\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ を含まない側)に対する円周角なので

円の角度の問題では、「頂点」ではなく「角の両端の2点」に印をつけて、対応する弧をさがすのがコツです。

使うのは「直径に対する円周角は $90^\circ$」という性質です。

$\mathrm{AB}$ は直径なので

三角形 $\mathrm{ABC}$ の内角の和は $180^\circ$ だから

検算すると $90^\circ + 28^\circ + 62^\circ = 180^\circ$ で、確かに内角の和になっています。直径に対する円周角が $90^\circ$ になるのは、半円の弧に対する中心角 $180^\circ$ の半分だからです。理由ごと覚えておきましょう。

使うのは「中心角は弧の長さに比例する」ことと、円周角の定理です。

円周全体に対する中心角は $360^\circ$ です。弧 $\mathrm{AB}$ は円周の $\dfrac{1}{5}$ なので、弧 $\mathrm{AB}$ に対する中心角は

円周角はその半分だから

検算すると $36^\circ \times 2 = 72^\circ$、$72^\circ \times 5 = 360^\circ$ で、円周全体にもどります。弧の割合が出てきたら「まず中心角、次に円周角」の順で求めましょう。

使うのは円周角の定理の逆です。「2点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{D}$ が直線 $\mathrm{BC}$ について同じ側にあり、$\angle \mathrm{BAC} = \angle \mathrm{BDC}$ ならば、4点は同一円周上にある」という定理でした。

(1) $\mathrm{A}$ と $\mathrm{D}$ は直線 $\mathrm{BC}$ について同じ側にあり、線分 $\mathrm{BC}$ を見込む角が

と等しいので、円周角の定理の逆より、4点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$、$\mathrm{D}$ は同一円周上にあるといえます。

(2) $\angle \mathrm{BAC} = 50^\circ$ と $\angle \mathrm{BDC} = 60^\circ$ は等しくありません。もし4点が同一円周上にあれば、$\angle \mathrm{BAC}$ と $\angle \mathrm{BDC}$ は同じ弧 $\mathrm{BC}$ に対する円周角として等しくなるはずなので、これは矛盾します。よって同一円周上にあるとはいえません。

この場合、$\angle \mathrm{BDC}$ の方が大きいので、点 $\mathrm{D}$ は3点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$ を通る円の内部にあります。「角が大きい → 円の内側」「角が小さい → 円の外側」というイメージもあわせて持っておきましょう。

使うのは円周角の定理です。ポイントは、点 $\mathrm{P}$ と点 $\mathrm{Q}$ では「見込んでいる弧が反対側」であることです。

(1) 長い方の弧の上にある点 $\mathrm{P}$ の円周角 $\angle \mathrm{APB}$ は、短い方の弧 $\mathrm{AB}$ に対する円周角です。その中心角は $130^\circ$ なので

(2) 短い方の弧の上にある点 $\mathrm{Q}$ の円周角 $\angle \mathrm{AQB}$ は、長い方の弧 $\mathrm{AB}$ に対する円周角です。長い方の弧に対する中心角は、1周 $360^\circ$ から短い方の中心角をひいて

よって

検算として、$65^\circ + 115^\circ = 180^\circ$ になることを確かめましょう。反対側の弧に対する2つの円周角の和は、中心角の合計 $360^\circ$ の半分、つまり必ず $180^\circ$ になります。

使うのは「三角形の外角は、となり合わない2つの内角の和に等しい」ことと、円周角の定理です。

点 $\mathrm{E}$ は線分 $\mathrm{AC}$ 上の点なので、$\angle \mathrm{BEC}$ は三角形 $\mathrm{ABE}$ の頂点 $\mathrm{E}$ における外角です。外角の性質より

$\angle \mathrm{BAE} = \angle \mathrm{BAC} = 35^\circ$、$\angle \mathrm{BEC} = 95^\circ$ を代入して

点 $\mathrm{E}$ は線分 $\mathrm{BD}$ 上の点でもあるので、$\angle \mathrm{ABE}$ はそのまま $\angle \mathrm{ABD}$ です。よって $\angle \mathrm{ABD} = 60^\circ$。

次に、$\angle \mathrm{ABD}$ と $\angle \mathrm{ACD}$ は、どちらも弧 $\mathrm{AD}$($\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$ を含まない側)に対する円周角なので

検算として、三角形 $\mathrm{ABE}$ の内角の和を確かめると、$\angle \mathrm{AEB} = 180^\circ - 95^\circ = 85^\circ$ で、$35^\circ + 60^\circ + 85^\circ = 180^\circ$。正しく成り立っています。円の中で線分が交わる問題は、「外角」と「同じ弧の円周角」の合わせ技が定番です。

使うのは「直径に対する円周角は $90^\circ$」と、「円周角は中心角の半分」です。

まず、$\mathrm{AB}$ は直径なので $\angle \mathrm{ACB} = 90^\circ$。三角形 $\mathrm{ABC}$ の内角の和より

$\angle \mathrm{ABC}$ は、弧 $\mathrm{AC}$ のうち $\mathrm{B}$ を含まない側($\mathrm{D}$ がある側)の弧に対する円周角なので、この弧に対する中心角は

求めたい $\angle \mathrm{ADC}$ は、弧 $\mathrm{AC}$ のうち $\mathrm{D}$ を含まない側($\mathrm{B}$ がある側)の弧に対する円周角です。その弧に対する中心角は

よって

検算として、$\angle \mathrm{ABC} + \angle \mathrm{ADC} = 65^\circ + 115^\circ = 180^\circ$。反対側の弧に対する円周角の和は $180^\circ$ になるはずなので、合っています。「求めたい角がどちら側の弧を見込んでいるか」を確認せずに $65^\circ$ と答えてしまうのが典型的なミスです。

使うのは「円周角は弧の長さに比例する」ことと、三角形の内角の和です。

まず、それぞれの弧に対する中心角を求めます。比の合計は $3+2+4+3 = 12$ なので、比の $1$ にあたる中心角は

よって中心角は、弧 $\mathrm{AB}$ が $90^\circ$、弧 $\mathrm{BC}$ が $60^\circ$、弧 $\mathrm{CD}$ が $120^\circ$、弧 $\mathrm{DA}$ が $90^\circ$ です(合計 $90^\circ + 60^\circ + 120^\circ + 90^\circ = 360^\circ$ で検算できます)。

三角形 $\mathrm{APB}$ に注目します。点 $\mathrm{P}$ は $\mathrm{AC}$ 上かつ $\mathrm{BD}$ 上の点なので、

$\angle \mathrm{PAB} = \angle \mathrm{CAB}$ は弧 $\mathrm{BC}$ に対する円周角だから

$\angle \mathrm{PBA} = \angle \mathrm{DBA}$ は弧 $\mathrm{DA}$ に対する円周角だから

三角形の内角の和より

別の方法で検算します。$\angle \mathrm{APB}$ は三角形 $\mathrm{PBC}$ の外角なので、$\angle \mathrm{PCB} + \angle \mathrm{PBC} = \dfrac{90^\circ}{2} + \dfrac{120^\circ}{2} = 45^\circ + 60^\circ = 105^\circ$。同じ値になるので正しいと確認できます。

使うのは円周角の定理の逆と、円周角の定理です。

(1) 四角形 $\mathrm{ABCD}$ の頂点の並びから、点 $\mathrm{A}$ と点 $\mathrm{D}$ は、辺 $\mathrm{BC}$ を含む直線について同じ側にあります。この2点から線分 $\mathrm{BC}$ を見込む角が

と等しいので、円周角の定理の逆より、4点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$、$\mathrm{D}$ は同一円周上にあります。

(2) (1) で4点が同一円周上にあるとわかったので、今度は円周角の定理が使えます。$\angle \mathrm{DBC}$ と $\angle \mathrm{DAC}$ は、どちらも弧 $\mathrm{DC}$($\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ を含まない側)に対する円周角なので

「等しい角を見つけて円を発見し、その円でさらに角を移す」という流れは、高校入試で最もよく出るパターンの1つです。(1) を証明せずにいきなり (2) の円周角を使うと減点されるので、答案では必ず「同一円周上にある」ことを先に述べましょう。

使うのは「接線は接点を通る半径に垂直」という性質と、四角形の内角の和、円周角の定理です。

(1) 接線は接点を通る半径に垂直なので

四角形 $\mathrm{OAPB}$ の内角の和は $360^\circ$ だから

(2) (1) で求めた $\angle \mathrm{AOB} = 130^\circ$ は、短い方の弧 $\mathrm{AB}$($\mathrm{P}$ に近い側の弧)に対する中心角です。点 $\mathrm{C}$ は長い方の弧の上にあるので、$\angle \mathrm{ACB}$ はこの短い方の弧に対する円周角になります。よって

検算すると、$90^\circ + 90^\circ + 50^\circ + 130^\circ = 360^\circ$、$65^\circ \times 2 = 130^\circ$ で、どちらも成り立ちます。接線が2本ある図では、「半径と接線の垂直」で直角を2つ作り、四角形の内角の和にもち込むのが定石です。

使うのは、円周角の定理を利用した相似の証明です。

$\triangle \mathrm{APC}$ と $\triangle \mathrm{DPB}$ において、

対頂角は等しいので

$\angle \mathrm{CAP}$(すなわち $\angle \mathrm{CAB}$)と $\angle \mathrm{BDP}$(すなわち $\angle \mathrm{BDC}$)は、どちらも弧 $\mathrm{CB}$($\mathrm{A}$、$\mathrm{D}$ を含まない側)に対する円周角なので

2組の角がそれぞれ等しいので

対応する辺の比は等しいから

数値を代入すると $6 : \mathrm{PD} = 3 : 4$。比例式の性質(外側の積 $=$ 内側の積)より

検算します。$\mathrm{PA} \times \mathrm{PB} = 6 \times 4 = 24$、$\mathrm{PC} \times \mathrm{PD} = 3 \times 8 = 24$ で一致します。円の内部で2つの弦が交わるとき、$\mathrm{PA} \times \mathrm{PB} = \mathrm{PC} \times \mathrm{PD}$ が成り立つことは、この相似からいつでも導けるので、結果だけ丸暗記せず、相似の証明とセットで覚えておきましょう。

使うのは「直径に対する円周角は $90^\circ$」「等しい円周角に対する弧(弦)は等しい」と、三平方の定理です。

(1) 点 $\mathrm{D}$ は円周上の点で、$\mathrm{AB}$ は直径なので、直径に対する円周角より

(2) $\mathrm{CD}$ は $\angle \mathrm{ACB}$ の二等分線なので

$\angle \mathrm{ACD}$ は弧 $\mathrm{AD}$ に対する円周角、$\angle \mathrm{BCD}$ は弧 $\mathrm{BD}$ に対する円周角です(どちらも $\mathrm{C}$ を含まない側の弧)。円周角が等しいので、対応する弧も等しく、等しい弧に対する弦も等しいから

(1) より三角形 $\mathrm{ADB}$ は $\angle \mathrm{ADB} = 90^\circ$ の直角二等辺三角形です。三平方の定理より

$\mathrm{AD} = \mathrm{BD}$ なので

$\mathrm{AD} > 0$ だから

検算すると $(5\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2 = 50 + 50 = 100 = 10^2$ で成り立ちます。なお、$\mathrm{AC} = 8 \, \mathrm{cm}$ という条件は (2) では使いません($\angle \mathrm{ACB} = 90^\circ$ から $\mathrm{BC} = 6 \, \mathrm{cm}$ が求められますが、$\mathrm{AD}$ の値には影響しません)。「角の二等分線 → 弧が等しい → 弦が等しい」という置きかえは、円の発展問題で頻出の考え方です。

使うのは「円周角は中心角(弧)の半分」という円周角の定理だけです。それぞれの角がどの弧に対する円周角かを整理するのがポイントです。

(1) 円周を5等分しているので、となり合う2点の間の弧に対する中心角はどれも

$\angle \mathrm{CAD}$ は、頂点が $\mathrm{A}$ で両端が $\mathrm{C}$、$\mathrm{D}$ の角なので、弧 $\mathrm{CD}$($\mathrm{A}$ を含まない側、つまり $\mathrm{C}$ と $\mathrm{D}$ の間の短い弧)に対する円周角です。よって

検算すると $36^\circ \times 2 = 72^\circ$、$72^\circ \times 5 = 360^\circ$ で円周全体にもどります。

(2) 先端の5つの角が、それぞれどの弧に対する円周角かを調べます(いずれも、その角の頂点を含まない側の弧です)。

$\angle \mathrm{CAD}$ は弧 $\mathrm{CD}$、$\angle \mathrm{DBE}$ は弧 $\mathrm{DE}$、$\angle \mathrm{ECA}$ は弧 $\mathrm{EA}$、$\angle \mathrm{ADB}$ は弧 $\mathrm{AB}$、$\angle \mathrm{BEC}$ は弧 $\mathrm{BC}$ に対する円周角です。

この5つの弧、すなわち弧 $\mathrm{AB}$、弧 $\mathrm{BC}$、弧 $\mathrm{CD}$、弧 $\mathrm{DE}$、弧 $\mathrm{EA}$ は、重なりもすき間もなく円周全体をおおうので、対応する中心角の和は $360^\circ$ です。円周角はそれぞれ中心角の半分だから、5つの角の和は

となり、5点の並び方(弧の長さの配分)に関係なく、和は必ず $180^\circ$ になります。(1) の場合で確かめると、5つの角はすべて $36^\circ$ で、$36^\circ \times 5 = 180^\circ$。確かに一致します。「1つ1つの角は動いても、合計は変わらない」という見方は、円周角の定理のいちばん美しい応用の1つです。