練習問題

円 $\mathrm{O}$ の円周上に2点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ があり、点 $\mathrm{P}$ は弧 $\mathrm{AB}$ を除く円周上の点である。
(1) 弧 $\mathrm{AB}$ に対する中心角が $\angle \mathrm{AOB} = 100^\circ$ のとき、$\angle \mathrm{APB}$ の大きさを求めよ。
(2) 円周角が $\angle \mathrm{APB} = 35^\circ$ のとき、弧 $\mathrm{AB}$ に対する中心角 $\angle \mathrm{AOB}$ の大きさを求めよ。

円周上に4点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$、$\mathrm{D}$ がこの順にある。
(1) $\angle \mathrm{BAC} = 40^\circ$ のとき、$\angle \mathrm{BDC}$ の大きさを求めよ。
(2) さらに $\angle \mathrm{DBC} = 25^\circ$ のとき、$\angle \mathrm{DAC}$ の大きさを求めよ。

線分 $\mathrm{AB}$ を直径とする円の円周上に、$\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ と異なる点 $\mathrm{C}$ がある。$\angle \mathrm{CAB} = 28^\circ$ のとき、$\angle \mathrm{CBA}$ の大きさを求めよ。

円周上に3点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$、$\mathrm{P}$ があり、点 $\mathrm{P}$ を含まない側の弧 $\mathrm{AB}$ の長さは、円周全体の $\dfrac{1}{5}$ である。円周角 $\angle \mathrm{APB}$ の大きさを求めよ。

次の (1)、(2) のそれぞれについて、4点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$、$\mathrm{D}$ が同一円周上にあるといえるかどうかを答えよ。ただし、どちらの場合も、点 $\mathrm{A}$ と点 $\mathrm{D}$ は直線 $\mathrm{BC}$ について同じ側にあるものとする。
(1) $\angle \mathrm{BAC} = 55^\circ$、$\angle \mathrm{BDC} = 55^\circ$
(2) $\angle \mathrm{BAC} = 50^\circ$、$\angle \mathrm{BDC} = 60^\circ$

円 $\mathrm{O}$ の円周上に2点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ があり、短い方の弧 $\mathrm{AB}$ に対する中心角は $\angle \mathrm{AOB} = 130^\circ$ である。
(1) 長い方の弧 $\mathrm{AB}$ の上に点 $\mathrm{P}$ をとるとき、$\angle \mathrm{APB}$ の大きさを求めよ。
(2) 短い方の弧 $\mathrm{AB}$ の上に点 $\mathrm{Q}$ をとるとき、$\angle \mathrm{AQB}$ の大きさを求めよ。

円周上に4点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$、$\mathrm{D}$ がこの順にあり、線分 $\mathrm{AC}$ と線分 $\mathrm{BD}$ は円の内部の点 $\mathrm{E}$ で交わっている。$\angle \mathrm{BAC} = 35^\circ$、$\angle \mathrm{BEC} = 95^\circ$ のとき、$\angle \mathrm{ABD}$ と $\angle \mathrm{ACD}$ の大きさを求めよ。

線分 $\mathrm{AB}$ を直径とする円の円周上に、4点が $\mathrm{A}$、$\mathrm{D}$、$\mathrm{C}$、$\mathrm{B}$ の順に並ぶように2点 $\mathrm{C}$、$\mathrm{D}$ をとる。$\angle \mathrm{CAB} = 25^\circ$ のとき、$\angle \mathrm{ADC}$ の大きさを求めよ。

円周上に4点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$、$\mathrm{D}$ がこの順にあり、4つの弧の長さの比は、弧 $\mathrm{AB}$ : 弧 $\mathrm{BC}$ : 弧 $\mathrm{CD}$ : 弧 $\mathrm{DA} = 3 : 2 : 4 : 3$ である。線分 $\mathrm{AC}$ と線分 $\mathrm{BD}$ の交点を $\mathrm{P}$ とするとき、$\angle \mathrm{APB}$ の大きさを求めよ。

四角形 $\mathrm{ABCD}$ で、対角線 $\mathrm{AC}$、$\mathrm{BD}$ をひいたところ、$\angle \mathrm{BAC} = \angle \mathrm{BDC} = 42^\circ$ であった。
(1) 4点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$、$\mathrm{D}$ が同一円周上にある理由を説明せよ。
(2) さらに $\angle \mathrm{DBC} = 33^\circ$ のとき、$\angle \mathrm{DAC}$ の大きさを求めよ。

円 $\mathrm{O}$ の外部の点 $\mathrm{P}$ から円 $\mathrm{O}$ に2本の接線をひき、接点をそれぞれ $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ とする。$\angle \mathrm{APB} = 50^\circ$ のとき、次の角の大きさを求めよ。
(1) $\angle \mathrm{AOB}$(点 $\mathrm{P}$ に近い側の角)
(2) 長い方の弧 $\mathrm{AB}$ の上の点 $\mathrm{C}$ に対する $\angle \mathrm{ACB}$

円周上に4点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{C}$、$\mathrm{B}$、$\mathrm{D}$ がこの順にあり、弦 $\mathrm{AB}$ と弦 $\mathrm{CD}$ は円の内部の点 $\mathrm{P}$ で交わっている。$\mathrm{PA} = 6 \, \mathrm{cm}$、$\mathrm{PB} = 4 \, \mathrm{cm}$、$\mathrm{PC} = 3 \, \mathrm{cm}$ のとき、線分 $\mathrm{PD}$ の長さを求めよ。

線分 $\mathrm{AB}$ を直径とする円 $\mathrm{O}$ があり、$\mathrm{AB} = 10 \, \mathrm{cm}$ である。円周上に点 $\mathrm{C}$ を $\mathrm{AC} = 8 \, \mathrm{cm}$ となるようにとる。$\angle \mathrm{ACB}$ の二等分線と円 $\mathrm{O}$ との交点のうち、$\mathrm{C}$ と異なる方を $\mathrm{D}$ とする。
(1) $\angle \mathrm{ADB}$ の大きさを求めよ。
(2) 線分 $\mathrm{AD}$ の長さを求めよ。

円周上に5点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$、$\mathrm{D}$、$\mathrm{E}$ がこの順にある。線分 $\mathrm{AC}$、$\mathrm{AD}$、$\mathrm{BD}$、$\mathrm{BE}$、$\mathrm{CE}$ をひくと、星形の図形ができる。星形の先端の5つの角とは、$\angle \mathrm{CAD}$、$\angle \mathrm{DBE}$、$\angle \mathrm{ECA}$、$\angle \mathrm{ADB}$、$\angle \mathrm{BEC}$ のことである。
(1) 5点が円周を5等分しているとき、$\angle \mathrm{CAD}$ の大きさを求めよ。
(2) 5点の並び方に関係なく、星形の先端の5つの角の和が $180^\circ$ になることを説明せよ。