平方根

2乗すると $9$ になる数を考えてみましょう。$3^2 = 9$ ですが、$(-3)^2 = 9$ でもあります。このように、2乗すると $a$ になる数を、$a$ の平方根といいます。$9$ の平方根は $3$ と $-3$ の2つです。

では、2乗すると $2$ になる数はどうでしょうか。$1.4^2 = 1.96$、$1.5^2 = 2.25$ なので、その数は $1.4$ と $1.5$ の間にありますが、分数や有限の小数ではぴったり表せません。そこで、新しい記号 $\sqrt{\phantom{a}}$(根号、「ルート」と読みます)を使って、2乗すると $2$ になる正の数を $\sqrt{2}$ と表します。

分数 $\dfrac{m}{n}$($m$ は整数、$n$ は $0$ でない整数)の形で表せる数を有理数、表せない数を無理数といいます。$\sqrt{2}$ や $\sqrt{3}$、円周率 $\pi$ は無理数です。一方、$\sqrt{9} = 3$ のように根号が外れる数は有理数なので、「根号がついていれば無理数」とは限らない点に注意しましょう。

有理数を小数で表すと、$\dfrac{1}{4} = 0.25$ のような有限小数か、$\dfrac{1}{3} = 0.333\cdots$ のように同じ数字の並びがくり返される循環小数になります。無理数は、$\sqrt{2} = 1.41421356\cdots$ のように、くり返しのない小数が限りなく続く数です。

根号を含む数どうしのかけ算・わり算には、便利な計算法則があります。たとえば $\sqrt{2} \times \sqrt{3}$ を2乗してみると、$(\sqrt{2} \times \sqrt{3})^2 = (\sqrt{2})^2 \times (\sqrt{3})^2 = 2 \times 3 = 6$ となります。つまり $\sqrt{2} \times \sqrt{3}$ は「2乗すると $6$ になる正の数」なので、$\sqrt{6}$ と等しいのです。

かけ算では、先に $a\sqrt{b}$ の形に直してから計算すると、根号の中が小さいまま計算できてミスが減ります。たとえば

のように、根号の外どうし・中どうしをそれぞれかけます。

$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ のように分母に根号があると、値の見当がつけにくく、たし算・ひき算もしにくくなります。そこで、分母と分子に同じ数をかけて、分母に根号を含まない形に直します。これを分母を有理化するといいます。

根号を含む式のたし算・ひき算は、文字式の同類項をまとめるのと同じ要領で計算します。$\sqrt{2}$ を文字 $x$ のように見て

とまとめます。根号の中が違う項($\sqrt{2}$ と $\sqrt{3}$ など)は、これ以上まとめられません。

$(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})$ のような式は、2年生までに学んだ乗法公式がそのまま使えます。

の $x$ や $a$ に根号を含む数を当てはめて計算します。

$\sqrt{2} = 1.41421356\cdots$、$\sqrt{3} = 1.7320508\cdots$、$\sqrt{5} = 2.2360679\cdots$ などの近似値は、およその大きさをつかむのに役立ちます。大きな数や小数の平方根も、$a\sqrt{b}$ の形に変形すれば、これらの近似値から計算できます。

また、$\sqrt{10}$ のような無理数がどの整数の間にあるかは、平方数ではさんで調べます。$9 < 10 < 16$ より $\sqrt{9} < \sqrt{10} < \sqrt{16}$、つまり $3 < \sqrt{10} < 4$ なので、$\sqrt{10}$ は $3$ と $4$ の間の数だとわかります。この考え方は、$\sqrt{n}$ をはさむ不等式を満たす自然数 $n$ を数える入試問題でもよく使われます。