答えと解説

「$a$ の平方根」とは、2乗すると $a$ になる数のことで、正の数の平方根は正と負の2つあります。

(1) $6^2 = 36$、$(-6)^2 = 36$ なので、$36$ の平方根は
$$\pm 6$$

(2) $7$ は整数の2乗の形にできないので、根号を使って表します。2乗すると $7$ になる数は
$$\pm\sqrt{7}$$

(3) $\sqrt{49}$ は「$49$ の平方根のうち正の方」を表す記号です。$49 = 7^2$ なので
$$\sqrt{49} = 7$$

(1)(2) は答えが2つ、(3) は正の1つだけ。「平方根を求めよ」と「$\sqrt{\phantom{a}}$ の値を求めよ」の違いを正確におさえましょう。

正の数どうしは、2乗して(根号の中の数で)比べます。$a$、$b$ が正の数のとき、$a < b$ ならば $\sqrt{a} < \sqrt{b}$ です。

(1) $3 = \sqrt{9}$ と直します。$9 < 10$ だから
$$\sqrt{9} < \sqrt{10} \quad すなわち \quad 3 < \sqrt{10}$$

(2) まず正の数で比べると、$6 < 7$ より $\sqrt{6} < \sqrt{7}$ です。負の数は絶対値が大きいほど小さいので、大小が逆になり
$$-\sqrt{7} < -\sqrt{6}$$

負の数の大小は数直線をイメージすると確実です。$-\sqrt{7}$ の方が原点から遠い(左にある)ので小さい数です。

かけ算・わり算では、根号の中どうしを計算できます。

(1) $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ より
$$\sqrt{3} \times \sqrt{5} = \sqrt{3 \times 5} = \sqrt{15}$$

(2) $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$ より
$$\sqrt{30} \div \sqrt{6} = \sqrt{\frac{30}{6}} = \sqrt{5}$$

(3) $12$ を素因数分解すると $12 = 2^2 \times 3$。2乗の因数 $2^2$ を根号の外に出して
$$\sqrt{12} = \sqrt{2^2 \times 3} = 2\sqrt{3}$$

答えの根号の中に2乗の因数が残っていないか($\sqrt{15}$ や $\sqrt{5}$ はこれ以上簡単にできないか)を毎回確認する習慣をつけましょう。

分母の根号と同じ数を、分母と分子の両方にかけます。

(1) 分母と分子に $\sqrt{3}$ をかけて
$$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

(2) 分母と分子に $\sqrt{2}$ をかけて
$$\frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$$

(2) のように、有理化したあとに約分できることがよくあります。$\dfrac{6\sqrt{2}}{2}$ のまま答えにせず、最後まで簡単にしましょう。

たし算・ひき算は、根号の中が同じ項どうしを、同類項のようにまとめます。

(1) $\sqrt{2}$ を1つの文字のように見て
$$3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = (3+5)\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$$

(2) まず根号の中をそろえます。
$$\sqrt{27} = \sqrt{3^2 \times 3} = 3\sqrt{3}, \quad \sqrt{12} = \sqrt{2^2 \times 3} = 2\sqrt{3}$$

よって
$$\sqrt{27} - \sqrt{12} = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$$

$\sqrt{27} - \sqrt{12} = \sqrt{15}$ のように根号の中どうしを引くのは誤りです。加減の前に必ず $a\sqrt{b}$ の形に直しましょう。

(1) 先に $a\sqrt{b}$ の形に直してからかけると、根号の中が小さくてすみます。$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ より
$$\sqrt{8} \times \sqrt{6} = 2\sqrt{2} \times \sqrt{6} = 2\sqrt{12} = 2 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$$

(2) 根号の外どうし、中どうしをそれぞれかけます。
$$2\sqrt{3} \times 3\sqrt{6} = (2 \times 3)\sqrt{3 \times 6} = 6\sqrt{18}$$

$\sqrt{18} = \sqrt{3^2 \times 2} = 3\sqrt{2}$ なので
$$6\sqrt{18} = 6 \times 3\sqrt{2} = 18\sqrt{2}$$

(3) かけ算・わり算は、根号の中を1つの分数にまとめて計算できます。
$$\sqrt{27} \div \sqrt{6} \times \sqrt{2} = \sqrt{\frac{27 \times 2}{6}} = \sqrt{9} = 3$$

(2) のように、計算のとちゅうで根号の中に2乗の因数が生まれることがあります。答えを書く前に、根号の中がこれ以上小さくできないか必ず確認しましょう。

(1) すべての項を $a\sqrt{b}$ の形に直します。
$$\sqrt{50} = \sqrt{5^2 \times 2} = 5\sqrt{2}, \quad \sqrt{32} = \sqrt{4^2 \times 2} = 4\sqrt{2}, \quad \sqrt{8} = \sqrt{2^2 \times 2} = 2\sqrt{2}$$

よって
$$5\sqrt{2} - 4\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = (5 - 4 + 2)\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$$

(2) まず $\sqrt{48} = \sqrt{4^2 \times 3} = 4\sqrt{3}$。次に分母を有理化して
$$\frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$$

よって
$$\sqrt{48} - \frac{9}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = \sqrt{3}$$

「$a\sqrt{b}$ の形への変形」と「有理化」を先にすませて、根号の中をそろえてからまとめる、という手順を徹底しましょう。

乗法公式の $x$ や $a$ に、根号を含む数を当てはめます。

(1) 和と差の積 $(x+a)(x-a) = x^2 - a^2$ より
$$(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$$

(2) $(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$ で $x = \sqrt{3}$、$a = 1$ として
$$(\sqrt{3}+1)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \times 1 \times \sqrt{3} + 1^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}$$

(3) $(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$ で $x = \sqrt{2}$、$a = 3$、$b = -5$ として
$$(\sqrt{2}+3)(\sqrt{2}-5) = (\sqrt{2})^2 + (3-5)\sqrt{2} + 3 \times (-5) = 2 - 2\sqrt{2} - 15 = -13 - 2\sqrt{2}$$

(2) で真ん中の項 $2\sqrt{3}$ を落とす($(\sqrt{3}+1)^2 = 3 + 1 = 4$ とする)のが典型的なミスです。2乗の展開は必ず3項出ることを意識しましょう。

$x$、$y$ の値をそのまま2乗して代入するより、公式で式の形を工夫してから代入するのが定石です。

(1) 和と差の積の公式が使える形です。
$$xy = (\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1$$

(2) $x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$ と因数分解してから代入します。
$$x + y = (\sqrt{5}+2) + (\sqrt{5}-2) = 2\sqrt{5}$$
$$x - y = (\sqrt{5}+2) - (\sqrt{5}-2) = 4$$

よって
$$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) = 2\sqrt{5} \times 4 = 8\sqrt{5}$$

$x^2$ と $y^2$ を別々に計算しても解けますが、$x+y$ と $x-y$(や $xy$)を先に求めると計算がぐっと楽になります。式の値の問題では「先に因数分解できないか」を考えましょう。

知っている近似値($\sqrt{2}$)が使えるように、式を変形します。

(1) $50 = 5^2 \times 2$ なので
$$\sqrt{50} = 5\sqrt{2} = 5 \times 1.414 = 7.07$$

(2) $0.5 = \dfrac{50}{100}$ と直すと、分母が $10^2$ になって根号が外せます。
$$\sqrt{0.5} = \sqrt{\frac{50}{100}} = \frac{\sqrt{50}}{10} = \frac{5\sqrt{2}}{10} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

よって
$$\sqrt{0.5} = \frac{1.414}{2} = 0.707$$

小数の平方根は、分母が $100$ や $10000$ の分数に直すのがコツです。$\sqrt{0.5}$ を「$\sqrt{5}$ の10分の1」と考えるのは誤り($\sqrt{0.05}$ が $\dfrac{\sqrt{5}}{10}$)なので注意しましょう。

$\sqrt{24n}$ が自然数になるのは、根号の中 $24n$ がある自然数の2乗(平方数)になるときです。

$24$ を素因数分解すると
$$24 = 2^3 \times 3$$

平方数になるには、すべての素因数の指数が偶数でなければなりません。いま $2$ の指数は $3$(奇数)、$3$ の指数は $1$(奇数)なので、$2$ と $3$ を1個ずつ補えばよく
$$n = 2 \times 3 = 6$$

確かめると
$$24 \times 6 = 144 = 12^2, \quad \sqrt{144} = 12$$

となり、確かに自然数になります。「素因数分解して、指数が奇数の素因数だけを集めたものが最小の $n$」と覚えておきましょう。

無理数の整数部分は、平方数ではさんで求めます。

$9 < 10 < 16$ より $\sqrt{9} < \sqrt{10} < \sqrt{16}$、すなわち $3 < \sqrt{10} < 4$ なので、整数部分は
$$a = 3$$

小数部分は「もとの数から整数部分を引いた残り」なので
$$b = \sqrt{10} - 3$$

これを $b(b+6)$ に代入します。$b + 6 = \sqrt{10} + 3$ となることに注目すると
$$b(b+6) = (\sqrt{10}-3)(\sqrt{10}+3)$$

和と差の積の公式で
$$(\sqrt{10}-3)(\sqrt{10}+3) = (\sqrt{10})^2 - 3^2 = 10 - 9 = 1$$

展開して代入する方法($b^2 + 6b = (10 - 6\sqrt{10} + 9) + (6\sqrt{10} - 18) = 1$)でも同じ答えになります。小数部分の問題では、「$b + (整数) = \sqrt{\phantom{a}}$ の形が作れないか」を探すと計算が一気に楽になります。

$\sqrt{53-2n}$ が整数になるのは、根号の中 $53-2n$ が $0$ 以上の平方数($0, 1, 4, 9, \ldots$)になるときです。

まず、根号の中は $0$ 以上でなければならないので
$$53 - 2n \ge 0 \quad より \quad n \le 26.5$$

つまり $n$ は $1$ から $26$ までの自然数です。このとき $53 - 2n$ の値は最大で $53 - 2 = 51$ です。

また、$53$ は奇数、$2n$ は偶数なので、$53 - 2n$ はつねに奇数です。したがって、$51$ 以下の奇数の平方数を探すと
$$1, \ 9, \ 25, \ 49$$

の4つです($0$ は偶数なので不適)。それぞれについて $n$ を求めます。

$53 - 2n = 49$ のとき $2n = 4$ より $n = 2$
$53 - 2n = 25$ のとき $2n = 28$ より $n = 14$
$53 - 2n = 9$ のとき $2n = 44$ より $n = 22$
$53 - 2n = 1$ のとき $2n = 52$ より $n = 26$

どれも $1$ 以上 $26$ 以下の自然数なので、すべて条件を満たします。よって $n = 2, \ 14, \ 22, \ 26$ です。

「根号の中が $0$ 以上」という範囲の確認と、「偶数・奇数に注目して候補をしぼる」工夫がこの問題のポイントです。

まず $xy$ を、和と差の積の公式で求めます。
$$xy = (\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2}) = (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2 = 6 - 2 = 4$$

次に $\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}$ は、通分すると
$$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x^2 + y^2}{xy}$$

となるので、$x^2 + y^2$ が分かれば計算できます。$x + y$ を先に求めると
$$x + y = (\sqrt{6}+\sqrt{2}) + (\sqrt{6}-\sqrt{2}) = 2\sqrt{6}$$

$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ を変形した $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$ を使って
$$x^2 + y^2 = (2\sqrt{6})^2 - 2 \times 4 = 24 - 8 = 16$$

よって
$$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{16}{4} = 4$$

検算として直接計算すると、$x^2 = 8 + 4\sqrt{3}$、$y^2 = 8 - 4\sqrt{3}$ で、和は確かに $16$ になります。「通分して $x+y$ と $xy$ で表す」流れは、難関校の入試で何度も出題される重要な手法です。