関数 y=ax²

ボールを高いところから落とすと、落ち始めてから $x$ 秒間に落ちる距離 $y$ m は、およそ $y = 5x^2$ という式で表せます。また、1辺が $x$ cm の正方形の面積 $y$ cm² は $y = x^2$ です。このように、$y$ が $x$ の2乗に比例する関係はいろいろな場面に現れます。

$y$ が $x$ の2乗に比例するとき、$a$ を $0$ でない定数として

と表せます。この $a$ を比例定数といいます。1年生で学んだ比例 $y = ax$ と同じように、$x$ の値を1つ決めると $y$ の値がただ1つ決まるので、$y$ は $x$ の関数です。

$y = x^2$ のグラフをかいてみましょう。$x = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$ に対して $y = 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9$ となります。これらの点をなめらかな曲線で結ぶと、原点を通り、$y$ 軸について左右対称な曲線になります。この曲線を放物線といいます。ボールを斜めに投げたときの通り道の形です。

$x$ の変域(範囲)が決まっているとき、それに対応する $y$ の変域を求める問題を考えます。1次関数ではグラフがまっすぐな直線なので、$x$ の変域の両端をそのまま代入すれば $y$ の変域が求められました。しかし $y = ax^2$ のグラフは曲線で、頂点(原点)で折り返すため、同じやり方をすると間違えることがあります。

特に注意が必要なのは、$x$ の変域が $0$ をまたぐ(変域の中に $x = 0$ が入っている)場合です。たとえば $y = x^2$ で $-2 \le x \le 3$ のとき、両端だけ代入すると $y = 4$ と $y = 9$ ですが、変域の途中の $x = 0$ で $y = 0$ という最小の値をとります。だから正しい $y$ の変域は $4 \le y \le 9$ ではなく $0 \le y \le 9$ です。必ずグラフの形を思い浮かべて考えましょう。

変化の割合とは、$x$ の増加量に対する $y$ の増加量の割合、つまり「$y$ の増加量 ÷ $x$ の増加量」のことでした。

1次関数 $y = ax + b$ では、変化の割合はどこをとっても一定で、傾き $a$ に等しいのでした。ところが関数 $y = ax^2$ では、グラフが曲線なので、変化の割合は一定ではなく、どこからどこまで変化するかによって値が変わります。ここが1次関数との大きなちがいです。

$y = ax^2$ で、$x$ が $p$ から $q$ まで増加するときの変化の割合を計算してみましょう。$y$ は $ap^2$ から $aq^2$ まで変化するので

途中で因数分解 $q^2 - p^2 = (q+p)(q-p)$ を使って約分しました。とても簡単な形になります。

変化の割合は「平均の速さ」の計算にも使えます。たとえばボールが斜面を転がり、$x$ 秒間に $y$ m 進むとき、$x$ が $1$ から $3$ まで変化する間の変化の割合は、「進んだ距離 ÷ かかった時間」つまりこの2秒間の平均の速さを表します。

放物線 $y = ax^2$ と直線が組み合わさった問題は、高校入試で最もよく出るテーマの1つです。放物線上の点の座標は、$x$ 座標を式に代入すれば $y$ 座標が求められます。2点の座標がわかれば、その2点を通る直線の式(傾きと切片)も求められます。

最後に、$y = ax^2$ が現実の場面でどう使われるかを見ておきましょう。

・物が自然に落ちるとき、落ち始めてから $x$ 秒間に落ちる距離 $y$ m は、およそ $y = 5x^2$ で表されます。

・自動車がブレーキをかけてから止まるまでに進む距離(制動距離)は、速さの2乗に比例することが知られています。速さが2倍になると制動距離は4倍になるので、スピードの出しすぎが危険な理由が数学的に説明できます。

どちらも「$y = ax^2$ とおいて、わかっている1組の $x$、$y$ の値から比例定数 $a$ を決める」という同じ流れで解けます。