答えと解説

(1) $y$ は $x$ の2乗に比例するので、比例定数を $a$ として $y = ax^2$ とおけます。$x = 2$、$y = 12$ を代入すると

両辺を $4$ で割って $a = 3$。よって

(2) 求めた式に $x = -3$ を代入します。

$(-3)^2 = 9$ であって $-9$ ではありません。負の数を代入するときは、必ずかっこをつけて2乗する習慣をつけると符号ミスを防げます。

(1) グラフが点 $(3, \ -18)$ を通るので、$x = 3$、$y = -18$ を $y = ax^2$ に代入すると

両辺を $9$ で割って

(2) $y = ax^2$ のグラフは、$a > 0$ なら上に開き、$a < 0$ なら下に開きます。$a = -2 < 0$ なので、下に開いた放物線です。

検算として $x = 3$ を $y = -2x^2$ に代入すると $y = -2 \times 9 = -18$ となり、確かに点 $(3, \ -18)$ を通ります。

まず、$x$ の変域 $1 \le x \le 3$ に $0$ がふくまれているかを確認します。$1$ から $3$ までなので $0$ はふくまれていません。この場合は、両端の値を代入して比べれば $y$ の変域がわかります。

$x = 1$ のとき

$x = 3$ のとき

$1 \le x \le 3$ の範囲ではグラフはずっと右上がり($x$ が増えると $y$ も増える)なので、$y$ は $1$ から $9$ まで変化します。よって

「変域の問題では、まず $0$ をまたぐかどうかを確認する」——この一手間が、次のレベルの問題でのミスを防ぎます。

$y = ax^2$ で $x$ が $p$ から $q$ まで増加するときの変化の割合は $a(p+q)$ で求められます。$a = 3$、$p = 1$、$q = 4$ なので

定義($y$ の増加量 ÷ $x$ の増加量)どおりに計算して確かめます。$x = 1$ のとき $y = 3 \times 1 = 3$、$x = 4$ のとき $y = 3 \times 16 = 48$ なので

公式と定義、どちらの方法でも同じ答えになりました。公式を使ったら、たまに定義でも計算して感覚を確かめておくと安心です。

(1) $y = ax^2$ のグラフは、$a < 0$ のとき下に開きます。比例定数が負なのはウの $-3$ だけなので、答えはウです。

(2) 開き方は、$a$ の絶対値が小さいほど大きく(グラフが横に広がる)、大きいほど小さく(細長く)なります。絶対値を比べると

なので、絶対値が最も小さいイの開き方が最も大きくなります。

(3) $y = ax^2$ と $y = -ax^2$ のグラフは、比例定数の絶対値が同じで符号が逆なので、$x$ 軸について対称です。ウ($a = -3$)とエ($a = 3$)がこの関係にあたります。

「開き方が大きい = 絶対値が小さい」という対応を逆に覚えてしまうミスが多いので、$y = x^2$ と $y = 3x^2$ に $x = 1$ を代入して($y = 1$ と $y = 3$)、係数が大きいほど急に立ち上がることを確認しておきましょう。

$a = -2 < 0$ なので、グラフは下に開いた放物線です。$x$ の変域 $-3 \le x \le 1$ は $0$ をふくむことに注意します。

下に開いた放物線では、頂点(原点)が最も高い点です。変域に $x = 0$ がふくまれるので、$y$ の最大の値は

最小の値は、$0$ から遠い方の端でとります。$|-3| = 3$、$|1| = 1$ なので遠いのは $x = -3$ の方で

(もう一方の端 $x = 1$ では $y = -2$ で、$-18$ より大きい)

よって、$y$ の変域は

両端だけ代入して「$-18 \le y \le -2$」とするのが典型的なミスです。変域が $0$ をまたいだら、最大か最小のどちらかは必ず $0$ になります。

$y$ の変域が $0 \le y \le 8$ で、$y$ が $0$ 以上の値をとっているので、グラフは上に開いた放物線、つまり $a > 0$ です($a < 0$ だと $y$ はすべて $0$ 以下になってしまい、$y = 8$ になれません)。

$x$ の変域 $-2 \le x \le 4$ は $0$ をふくむので、$y$ の最小の値 $0$ は $x = 0$ のときの値です。これは変域の条件と合っています。

$y$ の最大の値 $8$ は、$0$ から遠い方の端でとります。$|-2| = 2$、$|4| = 4$ なので $x = 4$ のときです。$x = 4$、$y = 8$ を代入すると

両辺を $16$ で割って

検算します。$y = \dfrac{1}{2}x^2$ で $x = -2$ のとき $y = 2$、$x = 0$ のとき $y = 0$、$x = 4$ のとき $y = 8$。確かに $y$ の変域は $0 \le y \le 8$ になります。$x = -2$ の方を最大と思い込んで $4a = 8$、$a = 2$ としないよう、どちらの端が $0$ から遠いかを必ず確認しましょう。

$y = ax^2$ で $x$ が $p$ から $q$ まで増加するときの変化の割合は $a(p+q)$ です。$p = 1$、$q = 5$ なので

これが $-12$ に等しいから

両辺を $6$ で割って

検算します。$y = -2x^2$ で、$x = 1$ のとき $y = -2$、$x = 5$ のとき $y = -50$。変化の割合は

確かに一致します。$y$ の増加量 $-50 - (-2)$ の符号処理($-50 + 2 = -48$)でミスしやすいので、引き算はかっこをつけて丁寧に書きましょう。

(1) 平均の速さは「進んだ距離 ÷ かかった時間」、つまり $y = 5x^2$ で $x$ が $1$ から $3$ まで増加するときの変化の割合です。

$x = 1$ のとき $y = 5 \times 1 = 5$、$x = 3$ のとき $y = 5 \times 9 = 45$ なので

よって平均の速さは毎秒 20 m です。公式 $a(p+q) = 5 \times (1+3) = 20$ でも同じ答えになります。

(2) 落ちる距離が 125 m になるときの $x$ を求めます。$y = 125$ を代入して

両辺を $5$ で割って

$x^2 = 25$ を満たす $x$ は $x = 5$ と $x = -5$ ですが、$x$ は時間を表すので $x > 0$。よって

答えは5秒後です。2乗の方程式を解いたら、問題の場面に合わない解(ここでは負の時間)を捨てることを忘れないようにしましょう。

まず、A と B の座標を求めます。$y = x^2$ に代入して

$x = -2$ のとき $y = (-2)^2 = 4$ だから A$(-2, \ 4)$

$x = 3$ のとき $y = 3^2 = 9$ だから B$(3, \ 9)$

直線 AB の傾きは

直線の式を $y = x + b$ とおいて、B$(3, \ 9)$ を代入すると

より $b = 6$。よって

もう一方の点 A で検算します。$x = -2$ のとき $y = -2 + 6 = 4$ となり、確かに A$(-2, \ 4)$ を通ります。公式 $y = a(p+q)x - apq$ を使うと、$a = 1$、$p = -2$、$q = 3$ から傾き $1 \times (-2+3) = 1$、切片 $-1 \times (-2) \times 3 = 6$ となり、同じ式が一気に得られます。

速さを時速 $x$ km、制動距離を $y$ m とすると、$y$ は $x$ の2乗に比例するので $y = ax^2$ とおけます。

$x = 40$ のとき $y = 10$ だから

よって $y = \dfrac{1}{160}x^2$。$x = 60$ を代入すると

答えは 22.5 m です。

別の考え方もできます。速さが $\dfrac{60}{40} = \dfrac{3}{2}$ 倍になると、制動距離は2乗に比例するので $\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4}$ 倍になります。$10 \times \dfrac{9}{4} = 22.5$ m で一致します。速さが1.5倍でも止まるまでの距離は2倍以上——これが「2乗に比例する」ことの怖さです。

(1) A、B の座標を求めます。$y = \dfrac{1}{2}x^2$ に代入して

$x = -2$ のとき $y = \dfrac{1}{2} \times 4 = 2$ だから A$(-2, \ 2)$

$x = 4$ のとき $y = \dfrac{1}{2} \times 16 = 8$ だから B$(4, \ 8)$

直線 AB の傾きは

$y = x + b$ に B$(4, \ 8)$ を代入して $8 = 4 + b$ より $b = 4$。よって

A で検算すると、$x = -2$ のとき $y = -2 + 4 = 2$ で A$(-2, \ 2)$ を通ります。

(2) 直線 AB と $y$ 軸との交点を C とすると、切片から C$(0, \ 4)$ です。三角形 OAB を、線分 OC を共通の底辺とする三角形 OCA と三角形 OCB に分けます。

底辺 OC の長さは $4$。三角形 OCA の高さは A の $x$ 座標の絶対値 $2$、三角形 OCB の高さは B の $x$ 座標の絶対値 $4$ です。

まとめると、切片 $4$ を底辺、A と B の $x$ 座標の絶対値の和 $2 + 4 = 6$ を高さの合計とみて、$\dfrac{1}{2} \times 4 \times 6 = 12$ と一気に計算することもできます。A と B が $y$ 軸をはさんで反対側にあるとき、高さの和は $x$ 座標の差 $4 - (-2) = 6$ と一致します。

(1) 交点では、放物線と直線の $y$ の値が等しいので

右辺を左辺に移項して

掛けて $-3$、足して $-2$ になる2数は $-3$ と $1$ なので、因数分解して

$y = x^2$ に代入すると、$x = -1$ のとき $y = 1$、$x = 3$ のとき $y = 9$。A の $x$ 座標の方が小さいので

どちらの点も直線 $y = 2x+3$ の上にあるか検算します。$2 \times (-1) + 3 = 1$ ✓、$2 \times 3 + 3 = 9$ ✓

(2) 直線 $y = 2x + 3$ と $y$ 軸との交点を C とすると、C$(0, \ 3)$。線分 OC を共通の底辺として三角形 OAB を2つに分けると、底辺 OC $= 3$、高さはそれぞれ $|-1| = 1$ と $|3| = 3$ なので

「交点は連立(代入)して2次方程式を解く → 面積は $y$ 軸との交点で分ける」という2つの定石を組み合わせる、入試の超頻出パターンです。

(1) 放物線 $y = x^2$ は $y$ 軸について対称なので、AB が $x$ 軸に平行なら、A と B は $y$ 軸をはさんでちょうど対称な位置にあります。A の $x$ 座標を $-t$($t > 0$)とすると B の $x$ 座標は $t$ で、AB の長さは

よって $t = 3$。$y$ 座標は $y = 3^2 = 9$ なので

(2) AB を底辺とみると、底辺の長さは $6$。AB は直線 $y = 9$ 上にあり、O は原点なので、高さは O と直線 AB との距離 $9$ です。

(3) P は $y$ 軸上の点なので P$(0, \ p)$ とおきます。三角形 PAB も AB(長さ $6$)を底辺とみると、高さは P と直線 $y = 9$ との距離、つまり $|9 - p|$ です。面積が $27$ になる条件は

よって $9 - p = 9$ または $9 - p = -9$ で、$p = 0$ または $p = 18$。$p = 0$ は原点 O 自身なので、原点以外という条件から

底辺 AB が共通なら「面積が等しい ⇔ 高さが等しい」と言いかえられる、という等積変形の考え方がポイントです。直線 AB から距離 $9$ の点は AB の上側と下側に1つずつあり、下側が O、上側が P$(0, \ 18)$ です。