答えと解説

平方根の考えを使います。「$x^2 = k$ の解は $x = \pm\sqrt{k}$」です。

(1) 2乗して $25$ になる数は $25$ の平方根なので

プラスとマイナスの両方が解です。$x = 5$ だけと答えるのがいちばん多いミスなので注意しましょう。

(2) まず $x^2 =$(数)の形に整理します。$-24$ を移項して

両辺を $3$ で割って

検算: $3 \times (\pm 2\sqrt{2})^2 = 3 \times 8 = 24$ で、元の方程式が成り立ちます。$\sqrt{8}$ のままにせず、$2\sqrt{2}$ と簡単にするのを忘れずに。

$x - 2$ を1つのかたまりとみます。「2乗すると $9$ になる数」は $9$ の平方根なので

$-2$ を移項して

$+$ のとき $x = 2 + 3 = 5$、$-$ のとき $x = 2 - 3 = -1$ だから

検算: $x = 5$ のとき $(5-2)^2 = 3^2 = 9$、$x = -1$ のとき $(-1-2)^2 = (-3)^2 = 9$ で、どちらも成り立ちます。展開してから解くこともできますが、この形のままかたまりの平方根をとる方がずっと速いです。

左辺を因数分解して、「$AB = 0$ ならば $A = 0$ または $B = 0$」を使います。

(1) 掛けて $6$、足して $5$ になる2数は $2$ と $3$ なので

$x + 2 = 0$ または $x + 3 = 0$ だから

検算: $x = -2$ のとき $4 - 10 + 6 = 0$、$x = -3$ のとき $9 - 15 + 6 = 0$ で成り立ちます。因数の符号と解の符号が逆になることに注意しましょう。

(2) 掛けて $16$、足して $-8$ になる2数は $-4$ と $-4$ なので、左辺は2乗の形に因数分解できて

$x - 4 = 0$ だから

検算: $16 - 32 + 16 = 0$ で成り立ちます。このように左辺が2乗の形になるとき、解は1つだけです。

「両辺を $x$ で割って $x = 3$」としてはいけません。$x$ が $0$ である可能性を無視して $0$ で割ってしまうことになり、解 $x = 0$ を失うからです。

正しくは、まずすべての項を左辺に移項します。

共通因数 $x$ をくくり出して

$x = 0$ または $x - 3 = 0$ だから

検算: $x = 0$ のとき左辺 $0$、右辺 $0$。$x = 3$ のとき左辺 $9$、右辺 $9$。どちらも成り立ちます。「文字で割らずに、移項して因数分解」を徹底しましょう。

掛けて $2$、足して $5$ になる整数はないので因数分解はできません。解の公式

に $a = 1$、$b = 5$、$c = 2$ を代入します。

検算: $x = \dfrac{-5 + \sqrt{17}}{2}$ のとき $x^2 = \dfrac{25 - 10\sqrt{17} + 17}{4} = \dfrac{21 - 5\sqrt{17}}{2}$、$5x = \dfrac{-25 + 5\sqrt{17}}{2}$ なので

で成り立ちます。$\sqrt{\phantom{a}}$ の中の計算 $b^2 - 4ac$ を2回確かめるくせをつけましょう。

因数分解できないので解の公式を使います。$a = 2$、$b = -3$、$c = -1$ です。$b$ と $c$ が負の数なので、かっこをつけて代入します。

$\sqrt{\phantom{a}}$ の中は $(-3)^2 = 9$ と $-4 \times 2 \times (-1) = +8$ で

検算: $x = \dfrac{3 + \sqrt{17}}{4}$ のとき $x^2 = \dfrac{9 + 6\sqrt{17} + 17}{16} = \dfrac{26 + 6\sqrt{17}}{16} = \dfrac{13 + 3\sqrt{17}}{8}$ なので

で成り立ちます。$c = -1$ の符号を落として $\sqrt{9 - 8}$ としてしまうのが典型的なミスです。

解の公式に $a = 1$、$b = -4$、$c = -2$ を代入します。

$\sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ と簡単にして

最後は分母分子を $2$ で約分しました。

検算: $x = 2 + \sqrt{6}$ のとき $x^2 = 4 + 4\sqrt{6} + 6 = 10 + 4\sqrt{6}$ なので

で成り立ちます($x = 2 - \sqrt{6}$ も同様に成り立ちます)。$\sqrt{24}$ のまま答えたり、約分を忘れて $\dfrac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2}$ のまま答えたりしないよう、最後まで式を整えましょう。

別解: 平方完成でも解けます。$x^2 - 4x = 2$ の両辺に $4$ を加えて $(x-2)^2 = 6$、よって $x = 2 \pm \sqrt{6}$。同じ答えになります。

左辺が積の形ですが、右辺が $0$ ではないので、このままでは「$AB = 0$ ならば $A = 0$ または $B = 0$」は使えません。掛けて $6$ になる数の組は無数にあるからです。まず左辺を展開します。

右辺の $6$ を移項して「$= 0$」の形にします。

掛けて $-12$、足して $-1$ になる2数は $-4$ と $3$ なので

検算: $x = 4$ のとき $(4+2)(4-3) = 6 \times 1 = 6$、$x = -3$ のとき $(-3+2)(-3-3) = (-1) \times (-6) = 6$ で、どちらも成り立ちます。「積の形 $= 0$」でない限り、いったん展開して整理し直すのが正しい手順です。

「$x = 2$ が解である」とは、$x = 2$ を代入すると方程式が成り立つということです。代入すると

$a = 2$ を元の方程式に戻すと

掛けて $-8$、足して $2$ になる2数は $4$ と $-2$ なので

確かに $x = 2$ が解に含まれており、もう1つの解は $x = -4$ です。

検算: $x = -4$ を代入すると $16 - 8 - 8 = 0$ で成り立ちます。「解を代入して係数を求める → 係数を戻して解き直す」という2段構えの流れは、定期テストでも入試でも頻出です。

小さい方の整数を $n$ とすると、連続する2つの整数は $n$、$n + 1$ と表せます。それぞれの2乗の和が $113$ だから

左辺を展開して

$113$ を移項して整理すると

両辺を $2$ で割って

掛けて $-56$、足して $1$ になる2数は $8$ と $-7$ なので

解の吟味: 正の整数という条件から、$n = -8$ は問題に合いません。$n = 7$ は問題に合います。よって2つの整数は $7$ と $8$ です。

検算: $7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113$ で確かに成り立ちます。文章題では、方程式の解がそのまま答えになるとは限りません。必ず条件に照らして吟味しましょう。

縦の長さを $x\,\mathrm{cm}$ とすると($x > 0$)、横の長さは $(x + 4)\,\mathrm{cm}$ です。面積が $96\,\mathrm{cm}^2$ だから

左辺を展開し、$96$ を移項して整理します。

掛けて $-96$、足して $4$ になる2数を探します。$96 = 8 \times 12$ に注目すると、$12$ と $-8$ が見つかるので

解の吟味: 長さだから $x > 0$ が必要で、$x = -12$ は問題に合いません。$x = 8$ は問題に合います。

検算: 縦 $8\,\mathrm{cm}$、横 $8 + 4 = 12\,\mathrm{cm}$ で、面積は $8 \times 12 = 96\,\mathrm{cm}^2$。確かに成り立ちます。答えは $8\,\mathrm{cm}$ です。負の解を捨てた理由(長さは正)まで答案に書く習慣をつけましょう。

道の幅を $x\,\mathrm{m}$ とします。道は土地の中に収まるので $0 < x < 20$ です。

この問題の定石は「道を端に寄せて考える」ことです。縦方向の道と横方向の道をそれぞれ土地の端まで平行移動しても、畑の面積の合計は変わりません。道を端に寄せると、畑は縦 $(20 - x)\,\mathrm{m}$、横 $(30 - x)\,\mathrm{m}$ の1つの長方形にまとまります。よって

左辺を展開します。

$504$ を移項して

掛けて $96$、足して $-50$ になる2数は $-2$ と $-48$ なので

解の吟味: $0 < x < 20$ という条件から、$x = 48$ は問題に合いません。$x = 2$ は問題に合います。

検算: 幅 $2\,\mathrm{m}$ のとき、畑をまとめた長方形は縦 $18\,\mathrm{m}$、横 $28\,\mathrm{m}$ で、面積は $18 \times 28 = 504\,\mathrm{m}^2$。確かに成り立ちます。答えは $2\,\mathrm{m}$ です。道の面積を「縦の道 + 横の道 − 重なり」で計算して $600$ から引く方法($600 - 20x - 30x + x^2 = 504$)でも、同じ方程式になります。

出発してから $x$ 秒後を考えます。2点が辺上を動いている間なので $0 < x < 12$ です。

$x$ 秒後、点 $\mathrm{P}$ は $\mathrm{A}$ から $x\,\mathrm{cm}$ 進んでいるので $\mathrm{AP} = x\,\mathrm{cm}$、よって

点 $\mathrm{Q}$ は $\mathrm{B}$ から $x\,\mathrm{cm}$ 進んでいるので

辺 $\mathrm{AB}$ と辺 $\mathrm{BC}$ は正方形の隣り合う辺なので垂直です。したがって $\triangle \mathrm{PBQ}$ は $\angle \mathrm{B} = 90^\circ$ の直角三角形で、$\mathrm{PB}$ と $\mathrm{BQ}$ を底辺と高さとみて

これが $16\,\mathrm{cm}^2$ になるから

両辺に $2$ を掛けて

すべての項を移項して $x^2$ の係数を正にすると

掛けて $32$、足して $-12$ になる2数は $-4$ と $-8$ なので

解の吟味: どちらも $0 < x < 12$ を満たすので、両方とも問題に合います。

検算: $4$ 秒後は $\mathrm{PB} = 8$、$\mathrm{BQ} = 4$ で面積 $\dfrac{1}{2} \times 4 \times 8 = 16\,\mathrm{cm}^2$。$8$ 秒後は $\mathrm{PB} = 4$、$\mathrm{BQ} = 8$ で面積 $\dfrac{1}{2} \times 8 \times 4 = 16\,\mathrm{cm}^2$。確かにどちらも成り立ちます。

答えは $4$ 秒後と $8$ 秒後です。三角形が大きくなる途中と小さくなる途中の2回、同じ面積になります。「解が2つ出たら片方を捨てる」と思いこまず、条件に合うかどうかで判断することが大切です。

もとの厚紙の1辺を $x\,\mathrm{cm}$ とします。四隅から1辺 $3\,\mathrm{cm}$ の正方形を切り取って折り曲げると、箱の底面は1辺が $(x - 6)\,\mathrm{cm}$ の正方形(左右から $3\,\mathrm{cm}$ ずつ、合計 $6\,\mathrm{cm}$ 短くなる)、高さは $3\,\mathrm{cm}$ になります。底面の1辺は正でなければならないので $x > 6$ です。

容積が $147\,\mathrm{cm}^3$ だから

両辺を $3$ で割って

$x - 6$ をかたまりとみて平方根の考えを使うと

よって

解の吟味: $x > 6$ という条件から、$x = -1$ は問題に合いません。$x = 13$ は問題に合います。

検算: 1辺 $13\,\mathrm{cm}$ の厚紙なら、底面の1辺は $13 - 6 = 7\,\mathrm{cm}$、高さは $3\,\mathrm{cm}$ で、容積は $7 \times 7 \times 3 = 147\,\mathrm{cm}^3$。確かに成り立ちます。答えは $13\,\mathrm{cm}$ です。

この問題は展開して解の公式に頼るより、$(x - 6)^2 = 49$ の形のまま平方根の考えで解く方がずっと速く、ミスも減ります。「2乗の形はくずさない」が計算のコツです。