答えと解説

三平方の定理「直角をはさむ2辺を $a$、$b$、斜辺を $c$ とすると $a^2+b^2=c^2$」を使います。

(1) 斜辺を $x$ cm とすると

$x > 0$ だから $x = \sqrt{169} = 13$。答えは $13$ cm です。$5:12:13$ は覚えておきたい整数の組です。

(2) 斜辺を $x$ cm とすると

$x > 0$ だから $x = \sqrt{65}$。$65 = 5 \times 13$ で2乗の因数を含まないので、これ以上簡単にできません。答えは $\sqrt{65}$ cm です。

答えが整数にならないときは「根号の中が簡単にできないか」を必ず確認しましょう。

斜辺が分かっているときは、$a^2 = c^2 - b^2$ の形(引き算)になります。

(1) 求める辺を $x$ cm とすると

$x > 0$ だから $x = 8$。答えは $8$ cm です($6:8:10 = 3:4:5$ の直角三角形です)。

(2) 求める辺を $x$ cm とすると

$x > 0$ だから $x = \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$。答えは $4\sqrt{3}$ cm です。

「斜辺の2乗から引く」のか「足す」のかを取り違えるのが典型的なミスです。斜辺(いちばん長い辺)がどれかを最初に確認しましょう。検算として $4^2 + (4\sqrt{3})^2 = 16 + 48 = 64 = 8^2$ が成り立つことも確かめられます。

三平方の定理の逆を使います。いちばん長い辺を $c$ として、$a^2 + b^2 = c^2$ が成り立つかどうかを調べます。

(1) いちばん長い辺は $25$ cm。

等しいので、直角三角形といえます($7:24:25$ も有名な整数の組です)。

(2) いちばん長い辺は $8$ cm。

$61 \ne 64$ なので、直角三角形とはいえません。

(3) いちばん長い辺は $\sqrt{5}$ cm($2 < 3 < 5$ より $\sqrt{2} < \sqrt{3} < \sqrt{5}$)。

等しいので、直角三角形といえます。

必ず「いちばん長い辺」を右辺($c$)にして比べること。ここを間違えると正しく判定できません。

特別な直角三角形の3辺の比を使います。

(1) 直角二等辺三角形の3辺の比は $1:1:\sqrt{2}$ です。比の $1$ にあたる辺が $5$ cm なので、斜辺は

より $5\sqrt{2}$ cm です。三平方の定理でも $5^2 + 5^2 = 50$、$\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ と確かめられます。

(2) 3辺の比は $1:2:\sqrt{3}$ で、比の $2$ にあたるのが斜辺です。斜辺が $8$ cm だから、比の $1$ にあたる辺($30°$ の向かい)は

より $4$ cm、比の $\sqrt{3}$ にあたる辺($60°$ の向かい)は

より $4\sqrt{3}$ cm です。

検算: $4^2 + (4\sqrt{3})^2 = 16 + 48 = 64 = 8^2$ ✓

「短い辺が $30°$ の向かい、長い辺が $60°$ の向かい」という対応(小さい角の向かいの辺は短い)を意識すると、取り違えを防げます。

対角線を斜辺とする直角三角形に、三平方の定理を使います。

(1) 対角線を $x$ cm とすると

$x > 0$ だから $x = \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}$。答えは $6\sqrt{2}$ cm です。「1辺 $a$ の正方形の対角線は $\sqrt{2}a$」という形で覚えておくと速いです。

(2) 対角線を $x$ cm とすると

$x > 0$ だから $x = \sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5}$。答えは $4\sqrt{5}$ cm です。

根号の中はできるだけ簡単な形に直すこと。$\sqrt{72}$ や $\sqrt{80}$ のままでは正解になりません。

正三角形 ABC の頂点 A から底辺 BC に垂線 AH を引きます。正三角形では、この垂線の足 H は BC の中点になるので

より $BH = 3$ cm です。直角三角形 ABH で三平方の定理を使うと

$AH > 0$ だから

高さは $3\sqrt{3}$ cm です。

面積は「底辺 $\times$ 高さ $\times \dfrac{1}{2}$」で

より $9\sqrt{3}$ cm² です。

1辺 $a$ の正三角形の高さ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}a$、面積 $\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$ に $a=6$ を代入して、高さ $3\sqrt{3}$ cm、面積 $9\sqrt{3}$ cm² となることでも検算できます。

2点間の距離の公式 $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ を使います。

(1) $x$ 座標の差は $5 - 2 = 3$、$y$ 座標の差は $3 - (-1) = 4$ です。

(2) $x$ 座標の差は $2 - (-1) = 3$、$y$ 座標の差は $-2 - 3 = -5$ です。差が負の数になっても、2乗すれば正になるのでそのまま計算できます。

$34 = 2 \times 17$ で2乗の因数を含まないので、$\sqrt{34}$ が答えです。

負の座標が出てくるときは、差の計算 $3 - (-1) = 4$ のような符号の処理でミスが起きがちです。座標の差を求めるところをていねいに計算しましょう。

中心 O から弦 AB に垂線 OH を引くと、H は AB の中点になります(円の中心から弦に引いた垂線は弦を2等分する)。

$OA = 6$ cm(半径)、$OH = 4$ cm、$\angle OHA = 90°$ だから、直角三角形 OAH で三平方の定理を使うと

$AH > 0$ だから

H は AB の中点なので

答えは $4\sqrt{5}$ cm です。

$AH$ は弦の「半分」であることに注意。$2\sqrt{5}$ cm のまま答えてしまうミスがとても多いので、最後に2倍したかを必ず確認しましょう。

円の接線は、接点を通る半径に垂直です。つまり $\angle OAP = 90°$ なので、三角形 OAP は OP を斜辺とする直角三角形です。

$OP = 10$ cm、$OA = 6$ cm(半径)だから、三平方の定理より

$PA > 0$ だから

答えは $8$ cm です($6:8:10 = 3:4:5$ の直角三角形です)。

接線の問題では「半径 ⊥ 接線」から直角を見つけるのが定石です。斜辺は OP(中心と外の点を結ぶ線分)であることに注意しましょう。

直方体の対角線の公式 $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ を使います。なぜこの公式になるかも確認しておきましょう。

まず底面(縦 $3$ cm、横 $4$ cm の長方形)の対角線の2乗は

次に、この底面の対角線と高さ $5$ cm がつくる直角三角形の斜辺が、直方体の対角線です。対角線を $d$ cm とすると

$d > 0$ だから

答えは $5\sqrt{2}$ cm です。

公式で一気に計算しても $\sqrt{3^2+4^2+5^2} = \sqrt{9+16+25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ となり、同じ結果になります。三平方の定理を2回使っている、という仕組みを理解しておくと応用がききます。

円錐の頂点から底面の中心に下ろした垂線が「高さ」です。母線・底面の半径・高さで直角三角形ができ、母線が斜辺になります。

高さを $h$ cm とすると、三平方の定理より

$h > 0$ だから

高さは $6\sqrt{2}$ cm です。

体積は「底面積 $\times$ 高さ $\times \dfrac{1}{3}$」で、底面積は $\pi \times 3^2 = 9\pi$ cm² だから

体積は $18\sqrt{2}\pi$ cm³ です。

母線(斜辺)と高さを混同しないこと。母線は側面に沿った長さ、高さは垂直に測った長さで、必ず「母線 > 高さ」になります($6\sqrt{2} = \sqrt{72} < \sqrt{81} = 9$ なので確かに成り立っています)。

正四角錐では、頂点 O から底面に下ろした垂線の足 H は、底面の正方形 ABCD の対角線の交点(中心)に一致します。そこで、直角三角形 OAH を切り出して考えます。

まず底面の対角線 AC の長さを求めます。1辺 $6$ cm の正方形の対角線だから

H は AC の中点なので

より $AH = 3\sqrt{2}$ cm です。

次に、直角三角形 OAH($\angle OHA = 90°$、斜辺 $OA = 9$ cm)で三平方の定理を使います。高さを $OH = h$ cm とすると

$h > 0$ だから

高さは $3\sqrt{7}$ cm です。

体積は、底面積が $6 \times 6 = 36$ cm² だから

より $36\sqrt{7}$ cm³ です。

$(3\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18$ の計算を $6$ などと間違えやすいので注意。「対角線の半分を求める → 高さを求める → 体積を求める」という3ステップの流れは、正四角錐の問題の定石です。

折り返しの問題では、「折り返しても角の大きさは変わらない」ことと「平行線の錯角」を組み合わせるのが定石です。

(1) まず、$\triangle FBD$ が二等辺三角形であることを示します。

AD と BC は平行だから、錯角より

折り返しなので、$\angle DBC$ は折り返し後も大きさが変わらず

よって $\angle FDB = \angle DBF$ となり、$\triangle FBD$ は $FB = FD$ の二等辺三角形です。

そこで $FD = x$ cm とおくと、$FB = x$ cm、$AF = AD - FD = 8 - x$ (cm) です。直角三角形 ABF($\angle A = 90°$)で三平方の定理を使うと

左辺を展開すると

両辺から $x^2$ を消して

よって $FD = 5$ cm です。

検算: $AF = 8 - 5 = 3$、$AB = 4$ で $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ ✓($3:4:5$ の直角三角形になっています)

(2) $\triangle FBD$ の底辺を $FD = 5$ cm とみると、高さは点 B と直線 AD の距離、すなわち $AB = 4$ cm です。よって

答えは $10$ cm² です。

「折り返し → 二等辺三角形を見つける → 長さを $x$ とおいて三平方の定理」という流れは、高校入試で最頻出のパターンの1つです。必ず自分の手で図をかいて確認しましょう。

立体の表面上の最短距離は、糸が通る面を展開図に広げて考えます。展開図の上では、最短の糸は A と G を結ぶ線分(直線)になります。糸のかけ方(通る面の組)によって展開図が変わるので、それぞれ計算して比べます。

【かけ方1】面 ABFE(縦 $2$ cm、横 $4$ cm)と面 BFGC(縦 $2$ cm、横 $2$ cm)を通る場合。2つの面を辺 BF で開いて1つの長方形にすると、横 $AB + BC = 4 + 2 = 6$ (cm)、縦 $AE = 2$ cm の長方形になり、糸の長さは

【かけ方2】面 ABFE と下の面 EFGH を通る場合。辺 EF で開くと、縦 $AE + EH = 2 + 2 = 4$ (cm)、横 $AB = 4$ cm の長方形になり、糸の長さは

【かけ方3】面 ADHE と面 DHGC を通る場合(横 $AD + DC = 2 + 4 = 6$、縦 $2$)は、かけ方1と同じ長方形になるので $2\sqrt{10}$ cm です。残りのかけ方(上の面 ABCD を通る場合など)も、展開すると上の3つのどれかと同じ形の長方形になるので、新しい長さは出てきません。

$4\sqrt{2} = \sqrt{32}$、$2\sqrt{10} = \sqrt{40}$ で、根号の中で比べると $32 < 40$ だから、最短はかけ方2の

答えは $4\sqrt{2}$ cm です。

この問題のポイントは2つ。1つ目は「表面上の最短距離は展開図で直線になる」こと。2つ目は「どの面を通るかで長さが変わるので、すべてのかけ方を計算して比較する」ことです。1通りだけ計算して答えると、最短でない値を答えてしまうことがあります。