相似な図形

1つの図形を、形を変えずに一定の割合で拡大または縮小した図形は、もとの図形と相似であるといいます。$\triangle ABC$ と $\triangle DEF$ が相似であることを、記号 $\backsim$ を使って $\triangle ABC \backsim \triangle DEF$ と表します。このとき、対応する頂点は同じ順に書くのが約束です。

相似な図形では、対応する線分の長さの比はすべて等しく、対応する角の大きさはそれぞれ等しくなります。対応する線分の長さの比を相似比といいます。たとえば相似比が $2:3$ なら、どの対応する辺どうしの比も $2:3$ です。

相似な三角形を見つけるときは、図の向きに惑わされないように、等しい角に印をつけて対応する頂点を確認します。「共通な角」「対頂角」「平行線の同位角・錯角」は、等しい角の3大供給源です。

$\triangle ABC$ の辺 $AB$ 上に点 $D$、辺 $AC$ 上に点 $E$ をとり、$DE \parallel BC$ とします。すると $\angle ADE = \angle ABC$(同位角)、$\angle A$ は共通なので、$\triangle ADE \backsim \triangle ABC$ となります。ここから次の重要な定理が得られます。

注意してほしいのは、$AD:DB = DE:BC$ は成り立たないことです。$DE:BC$ に等しいのは、頂点 $A$ からはかった $AD:AB$ の方です。「全体との比か、残りとの比か」を毎回確認しましょう。

この定理を平行線の側から見ると、次の形になります。

三角形と比の定理で、$D$、$E$ がそれぞれ辺の中点である特別な場合を考えます。$AD:AB = AE:AC = 1:2$ なので、定理の逆から $DE \parallel BC$、さらに $DE:BC = 1:2$ が成り立ちます。これが中点連結定理です。

次に、角の二等分線と辺の比の関係を学びます。$\triangle ABC$ の $\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ との交点を $D$ とします。点 $C$ を通り $AD$ に平行な直線をひき、辺 $BA$ の延長との交点を $E$ とすると、$AD \parallel EC$ から $\angle BAD = \angle AEC$(同位角)、$\angle DAC = \angle ACE$(錯角)。仮定より $\angle BAD = \angle DAC$ なので $\angle AEC = \angle ACE$ となり、$\triangle ACE$ は二等辺三角形で $AE = AC$ です。$\triangle BEC$ で三角形と比の定理を使うと $BD:DC = BA:AE = AB:AC$ が得られます。

相似比が $m:n$ の2つの図形を考えます。周の長さのような「長さ」はどこも $m:n$ ですが、面積は縦も横も $\dfrac{n}{m}$ 倍になるので $m^2 : n^2$、体積は縦・横・高さの3方向とも $\dfrac{n}{m}$ 倍になるので $m^3 : n^3$ になります。「面積は2乗、体積は3乗」がこのセクションの合言葉です。

相似は、直接はかれない長さを求める測量にも使われます。実際の土地や建物を一定の割合で縮小してかいた図を縮図といい、縮小した割合(たとえば $\dfrac{1}{1000}$)を縮尺といいます。

たとえば、縮尺 $\dfrac{1}{500}$ の縮図上で $6$ cm の距離は、実際には $6 \times 500 = 3000$ cm、つまり $30$ m です。また、同じ時刻には太陽光線が平行なので、棒とその影がつくる直角三角形はどれも相似になります。この性質を使うと、木や建物の高さを影の長さから計算できます。