答えと解説: 相似な図形 | 中3数学

問 1基本

$\triangle ABC \backsim \triangle DEF$ で、 $AB = 6$ cm、 $BC = 8$ cm、 $DE = 9$ cm、 $\angle B = 80^\circ$ である。
(1) $\triangle ABC$ と $\triangle DEF$ の相似比を求めよ。
(2) $EF$ の長さを求めよ。
(3) $\angle E$ の大きさを求めよ。

答え

(1) $2:3$
(2) $EF = 12$ cm
(3) $\angle E = 80^\circ$

解説

(1) $\triangle ABC \backsim \triangle DEF$ では、頂点が $A \to D$ 、 $B \to E$ 、 $C \to F$ と対応するので、辺 $AB$ に対応するのは辺 $DE$ です。相似比は対応する辺の比だから

AB : DE = 6 : 9 = 2 : 3

(2) 辺 $BC$ に対応するのは辺 $EF$ で、対応する辺の比はすべて相似比に等しいので

BC : EF = 2 : 3

8 : EF = 2 : 3

外項の積 $=$ 内項の積より $2 \times EF = 8 \times 3 = 24$ だから

EF = 12 \ \text{cm}

検算すると $8:12 = 2:3$ で相似比と一致します。

(3) 相似な図形では対応する角の大きさは等しいので、 $\angle B$ に対応する $\angle E$ は

\angle E = \angle B = 80^\circ

相似では「長さは相似比で変わるが、角はそのまま」です。対応する頂点を記号の順番から正しく読み取ることが第一歩です。

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問 2基本

$\triangle ABC$ と $\triangle DEF$ で、 $AB = 4$ cm、 $BC = 6$ cm、 $\angle B = 70^\circ$ 、 $DE = 6$ cm、 $EF = 9$ cm、 $\angle E = 70^\circ$ である。この2つの三角形が相似であることの根拠となる相似条件を答えよ。また、相似比を求めよ。

答え

相似条件: 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。相似比: $2:3$

解説

2組の辺の比を調べます。

AB : DE = 4 : 6 = 2 : 3

BC : EF = 6 : 9 = 2 : 3

よって $AB:DE = BC:EF$ で、2組の辺の比が等しくなっています。さらに、その2組の辺にはさまれた角について

\angle B = \angle E = 70^\circ

したがって「2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい」という相似条件により $\triangle ABC \backsim \triangle DEF$ で、相似比は $2:3$ です。

検算: $4 \times 9 = 36$ 、 $6 \times 6 = 36$ で $4:6 = 6:9$ が確かに成り立ちます。この条件を使うときは、等しい角が2組の辺の「間」にあることを必ず確認しましょう。間にない角では相似はいえません。

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問 3基本

$\triangle ABC$ の辺 $AB$ 上に点 $D$ 、辺 $AC$ 上に点 $E$ があり、 $DE \parallel BC$ である。 $AD = 4$ cm、 $DB = 2$ cm、 $AE = 6$ cm、 $BC = 9$ cm のとき、次の長さを求めよ。
(1) $EC$
(2) $DE$

答え

(1) $EC = 3$ cm
(2) $DE = 6$ cm

解説

(1) $DE \parallel BC$ なので、三角形と比の定理より

AD : DB = AE : EC

4 : 2 = 6 : EC

外項の積 $=$ 内項の積より $4 \times EC = 2 \times 6 = 12$ だから

EC = 3 \ \text{cm}

検算: $AE:EC = 6:3 = 2:1 = 4:2 = AD:DB$ で一致します。

(2) $DE:BC$ に等しいのは $AD:DB$ ではなく $AD:AB$ です。 $AB = AD + DB = 4 + 2 = 6$ cm なので

DE : BC = AD : AB = 4 : 6 = 2 : 3

DE : 9 = 2 : 3

$3 \times DE = 18$ より

DE = 6 \ \text{cm}

検算: $DE:BC = 6:9 = 2:3$ で一致します。「 $DE:BC = AD:DB = 2:1$ 」としてしまうのがこの単元で最も多い誤りです。 $DE$ を求めるときは必ず頂点からの全体の比 $AD:AB$ を使いましょう。

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問 4基本

$\triangle ABC$ の辺 $AB$ 、 $AC$ の中点をそれぞれ $M$ 、 $N$ とする。 $BC = 12$ cm、 $\angle ABC = 70^\circ$ のとき、線分 $MN$ の長さと $\angle AMN$ の大きさを求めよ。

答え

$MN = 6$ cm、 $\angle AMN = 70^\circ$

解説

$M$ 、 $N$ はそれぞれ辺 $AB$ 、 $AC$ の中点なので、中点連結定理より

MN \parallel BC, \quad MN = \frac{1}{2} BC

したがって

MN = \frac{1}{2} \times 12 = 6 \ \text{cm}

また、 $MN \parallel BC$ で、直線 $AB$ が2本の平行線と交わっているから、同位角は等しく

\angle AMN = \angle ABC = 70^\circ

検算: $AM:AB = 1:2$ 、 $MN:BC = 6:12 = 1:2$ で、三角形と比の定理とも一致しています。中点連結定理は「平行」と「半分」の2つの結論をセットで使えるようにしておきましょう。

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問 5基本

ある晴れた日、身長 $1.6$ m の人の影の長さが $1.2$ m であった。同じ時刻に、木の影の長さは $7.5$ m であった。木の高さを求めよ。ただし、太陽光線は平行であるとし、人も木も地面に垂直に立っているものとする。

答え

$10$ m

解説

同じ時刻の太陽光線は平行なので、「人とその影」がつくる直角三角形と「木とその影」がつくる直角三角形は、直角と光線のつくる角の2組の角がそれぞれ等しく、相似です。相似な図形では対応する辺の比が等しいので

(\text{人の身長}) : (\text{人の影}) = (\text{木の高さ}) : (\text{木の影})

木の高さを $x$ m とすると

1.6 : 1.2 = x : 7.5

外項の積 $=$ 内項の積より

1.2 x = 1.6 \times 7.5 = 12

x = 10 \ \text{m}

検算: $1.6:1.2 = 4:3$ 、 $10:7.5 = 4:3$ で比が一致します。影を使った測量は「高さ : 影の比がどの物体でも同じ」というだけの話なので、比例式さえ正しく立てられれば確実に得点できます。

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問 6標準

$\angle A = 90^\circ$ の直角三角形 $ABC$ で、頂点 $A$ から斜辺 $BC$ に垂線をひき、 $BC$ との交点を $D$ とする。
(1) $\triangle ABC \backsim \triangle DBA$ であることを証明せよ。
(2) $AB = 6$ cm、 $BC = 9$ cm のとき、 $BD$ の長さを求めよ。

答え

(1) 証明は解説の通り
(2) $BD = 4$ cm

解説

(1) の証明:

【証明】
$\triangle ABC$ と $\triangle DBA$ において、

仮定より $\angle BAC = 90^\circ$ …①

$AD$ は辺 $BC$ への垂線だから $\angle BDA = 90^\circ$ …②

①、②より $\angle BAC = \angle BDA$ …③

また、 $\angle ABC = \angle DBA$ (共通)…④

③、④より、2組の角がそれぞれ等しいので

\triangle ABC \backsim \triangle DBA

(証明終わり)

(2) (1)の相似で、頂点は $A \to D$ 、 $B \to B$ 、 $C \to A$ と対応します。対応する辺の比は等しいので

AB : DB = BC : BA

6 : BD = 9 : 6

外項の積 $=$ 内項の積より $9 \times BD = 6 \times 6 = 36$ だから

BD = 4 \ \text{cm}

検算: この関係は $AB^2 = BD \times BC$ と書き直せて、 $6^2 = 36 = 4 \times 9$ で成り立っています。直角三角形に斜辺への垂線をひく図は、もとの三角形と分割された2つの三角形がすべて相似になる超頻出パターンです。対応する頂点を「直角 → 直角、共通角 → 共通角」の順にたどって書き出すと、比例式を間違えません。

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問 7標準

3つの平行な直線 $l$ 、 $m$ 、 $n$ に、2つの直線 $p$ 、 $q$ が交わっている。
(1) 直線 $p$ が $l$ と $m$ の間で $6$ cm、 $m$ と $n$ の間で $9$ cm に切り取られ、直線 $q$ が $l$ と $m$ の間で $x$ cm、 $m$ と $n$ の間で $12$ cm に切り取られるとき、 $x$ を求めよ。
(2) 直線 $p$ が $l$ と $m$ の間で $4$ cm、 $m$ と $n$ の間で $y$ cm に切り取られ、直線 $q$ が $l$ と $m$ の間で $10$ cm、 $m$ と $n$ の間で $15$ cm に切り取られるとき、 $y$ を求めよ。

答え

(1) $x = 8$
(2) $y = 6$

解説

平行線と線分の比の定理「平行な3直線が2直線から切り取る線分の比は等しい」を使います。

(1) 直線 $p$ 上の比と直線 $q$ 上の比が等しいので

6 : 9 = x : 12

外項の積 $=$ 内項の積より $9x = 6 \times 12 = 72$ だから

x = 8

検算: $6:9 = 2:3$ 、 $8:12 = 2:3$ で一致します。

(2) 同じ定理で

4 : y = 10 : 15

外項の積 $=$ 内項の積より $10y = 4 \times 15 = 60$ だから

y = 6

検算: $4:6 = 2:3$ 、 $10:15 = 2:3$ で一致します。

比例式を立てるときは、「 $l$ と $m$ の間どうし」「 $m$ と $n$ の間どうし」のように、同じ区間の線分を対応させることだけに集中しましょう。2本の直線が図の中で交差していても、この定理はそのまま使えます。

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問 8標準

$AD \parallel BC$ の台形 $ABCD$ があり、 $AD = 6$ cm、 $BC = 10$ cm である。対角線 $AC$ と $BD$ の交点を $O$ とする。
(1) $AO : OC$ を求めよ。
(2) 点 $O$ を通り $BC$ に平行な直線が、辺 $AB$ 、 $DC$ と交わる点をそれぞれ $E$ 、 $F$ とするとき、 $EF$ の長さを求めよ。

答え

(1) $AO : OC = 3 : 5$
(2) $EF = \dfrac{15}{2}$ cm

解説

(1) $\triangle OAD$ と $\triangle OCB$ で、 $AD \parallel BC$ より錯角が等しいので $\angle OAD = \angle OCB$ 、 $\angle ODA = \angle OBC$ 。2組の角がそれぞれ等しいから

\triangle OAD \backsim \triangle OCB

相似比は $AD : CB = 6 : 10 = 3 : 5$ 。よって対応する辺の比から

AO : OC = AD : CB = 3 : 5

同時に $DO : OB = 3 : 5$ も成り立ちます。

(2) $EO$ と $OF$ に分けて求めます。

$\triangle ABC$ で $EO \parallel BC$ だから、三角形と比の定理より

EO : BC = AO : AC

(1)より $AO : OC = 3 : 5$ なので $AO : AC = 3 : (3+5) = 3 : 8$ 。よって

EO = 10 \times \frac{3}{8} = \frac{30}{8} = \frac{15}{4} \ \text{cm}

$\triangle DBC$ で $OF \parallel BC$ だから

OF : BC = DO : DB

$DO : OB = 3 : 5$ なので $DO : DB = 3 : 8$ 。よって

OF = 10 \times \frac{3}{8} = \frac{15}{4} \ \text{cm}

したがって

EF = EO + OF = \frac{15}{4} + \frac{15}{4} = \frac{15}{2} \ \text{cm}

検算: 台形の対角線の交点を通る平行線の長さは $\dfrac{2 \times 6 \times 10}{6 + 10} = \dfrac{120}{16} = \dfrac{15}{2}$ という公式でも計算でき、一致します。 $EF$ を一度に求めようとせず、 $O$ で2つに切って左右それぞれの三角形で定理を使うのがポイントです。

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問 9標準

$\triangle ABC$ で $AB = 8$ cm、 $AC = 6$ cm、 $BC = 7$ cm とする。 $\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ との交点を $D$ とするとき、 $BD$ と $DC$ の長さを求めよ。

答え

$BD = 4$ cm、 $DC = 3$ cm

解説

角の二等分線と比の定理より、 $\angle A$ の二等分線は対辺 $BC$ を $AB:AC$ の比に分けます。

BD : DC = AB : AC = 8 : 6 = 4 : 3

$D$ は辺 $BC$ 上の点なので、 $BD + DC = BC = 7$ cm。 $BC$ を $4:3$ に分けるから

BD = 7 \times \frac{4}{4+3} = 7 \times \frac{4}{7} = 4 \ \text{cm}

DC = 7 \times \frac{3}{4+3} = 7 \times \frac{3}{7} = 3 \ \text{cm}

検算: $BD + DC = 4 + 3 = 7 = BC$ 、かつ $BD:DC = 4:3 = 8:6 = AB:AC$ で、どちらの条件も満たしています。 $B$ 側の線分 $BD$ に対応するのは $B$ を端にもつ辺 $AB$ です。 $BD:DC = AC:AB$ と逆に対応させるミスに注意しましょう。

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問 10標準

四角形 $ABCD$ の辺 $AB$ 、 $BC$ 、 $CD$ 、 $DA$ の中点をそれぞれ $P$ 、 $Q$ 、 $R$ 、 $S$ とする。四角形 $PQRS$ は平行四辺形であることを証明せよ。

答え

証明は解説の通り(対角線 $AC$ をひき、中点連結定理を2回使う)

解説

補助線として対角線 $AC$ をひき、 $AC$ をはさむ2つの三角形で中点連結定理を使います。

【証明】
対角線 $AC$ をひく。

$\triangle ABC$ において、 $P$ 、 $Q$ はそれぞれ辺 $AB$ 、 $BC$ の中点だから、中点連結定理より

PQ \parallel AC, \quad PQ = \frac{1}{2} AC \ \text{…①}

$\triangle ACD$ において、 $S$ 、 $R$ はそれぞれ辺 $DA$ 、 $CD$ の中点だから、中点連結定理より

SR \parallel AC, \quad SR = \frac{1}{2} AC \ \text{…②}

①、②より

PQ \parallel SR, \quad PQ = SR

1組の対辺が平行でその長さが等しいので、四角形 $PQRS$ は平行四辺形である。

(証明終わり)

もとの四角形 $ABCD$ がどんな形(へこみのない四角形)でも、中点を結ぶと必ず平行四辺形になるという美しい定理です。ポイントは「対角線をひいて、中点連結定理が使える三角形を自分で作り出す」こと。対角線 $BD$ をひいて $\triangle ABD$ と $\triangle CBD$ で $PS$ と $QR$ を比べても、同じように証明できます。

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問 11標準

$\triangle ABC$ の辺 $AB$ 上に点 $D$ 、辺 $AC$ 上に点 $E$ があり、 $DE \parallel BC$ 、 $AD : DB = 2 : 1$ である。 $\triangle ABC$ の面積が $36 \ \text{cm}^2$ のとき、次の面積を求めよ。
(1) $\triangle ADE$
(2) 台形 $DBCE$

答え

(1) $16 \ \text{cm}^2$
(2) $20 \ \text{cm}^2$

解説

(1) $DE \parallel BC$ より $\triangle ADE \backsim \triangle ABC$ です(∠ $A$ 共通、同位角で $\angle ADE = \angle ABC$ )。相似比は

AD : AB = 2 : (2+1) = 2 : 3

ここで $AD:DB = 2:1$ を相似比としないよう注意します。面積比は相似比の2乗なので

\triangle ADE : \triangle ABC = 2^2 : 3^2 = 4 : 9

よって

\triangle ADE = 36 \times \frac{4}{9} = 16 \ \text{cm}^2

(2) 台形 $DBCE$ は $\triangle ABC$ から $\triangle ADE$ を取り除いた部分なので

36 - 16 = 20 \ \text{cm}^2

検算: $\triangle ADE : \text{台形} DBCE = 16 : 20 = 4 : 5$ で、面積比 $4:9$ から $9 - 4 = 5$ として求めた比と一致します。「相似比は頂点からの全体の比 $AD:AB$ 」「面積は2乗の比」「残りは引き算(比のままなら $9-4=5$ )」という3ステップは、入試でも定期テストでも最頻出の流れです。

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問 12発展

平行四辺形 $ABCD$ の辺 $BC$ 上に点 $E$ があり、 $BE : EC = 2 : 1$ である。線分 $AE$ と対角線 $BD$ との交点を $F$ とする。
(1) $\triangle FBE \backsim \triangle FDA$ であることを証明せよ。
(2) $BF : FD$ を求めよ。
(3) $\triangle FBE$ と $\triangle FDA$ の面積比を求めよ。

答え

(1) 証明は解説の通り
(2) $BF : FD = 2 : 3$
(3) $\triangle FBE : \triangle FDA = 4 : 9$

解説

(1) の証明:

【証明】
$\triangle FBE$ と $\triangle FDA$ において、

四角形 $ABCD$ は平行四辺形だから $BC \parallel AD$ 、すなわち $BE \parallel DA$ 。

$BE \parallel DA$ で、直線 $BD$ が交わるから、錯角は等しく

\angle FBE = \angle FDA \ \text{…①}

$BE \parallel DA$ で、直線 $AE$ が交わるから、錯角は等しく

\angle FEB = \angle FAD \ \text{…②}

①、②より、2組の角がそれぞれ等しいので

\triangle FBE \backsim \triangle FDA

(証明終わり)

(2) 相似比を求めます。平行四辺形の対辺は等しいので $AD = BC$ 。 $BE:EC = 2:1$ より

BE = \frac{2}{2+1} BC = \frac{2}{3} AD

よって

BE : DA = \frac{2}{3} AD : AD = 2 : 3

(1)の相似( $F \to F$ 、 $B \to D$ 、 $E \to A$ の対応)で、対応する辺の比は相似比に等しいから

BF : FD = BE : DA = 2 : 3

検算: $EF:FA$ も同じ相似から $2:3$ となり、相似な三角形のすべての対応辺で比が $2:3$ にそろっています。

(3) 相似な図形の面積比は相似比の2乗なので

\triangle FBE : \triangle FDA = 2^2 : 3^2 = 4 : 9

平行四辺形の中の「ちょうちょ型(砂時計型)」の相似は入試の超定番です。平行線を見つけたら錯角のペアを2組指摘する、という証明の型をそのまま覚えてしまいましょう。

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問 13発展

円錐を、底面に平行な2つの平面で高さを3等分するように切り、頂点側から順に立体 P、Q、R の3つの部分に分ける。
(1) P、Q、R の体積比を求めよ。
(2) もとの円錐の体積が $540 \ \text{cm}^3$ のとき、いちばん下の立体 R の体積を求めよ。

答え

(1) $P : Q : R = 1 : 7 : 19$
(2) $380 \ \text{cm}^3$

解説

(1) 頂点を含む円錐どうしで考えるのがコツです。頂点から高さ $\dfrac{1}{3}$ までの小さい円錐を $P$ 、高さ $\dfrac{2}{3}$ までの円錐を(P と Q を合わせた立体)、もとの円錐全体を(P、Q、R すべて)とすると、この3つの円錐は相似で、相似比は高さの比

1 : 2 : 3

体積比は相似比の3乗なので

1^3 : 2^3 : 3^3 = 1 : 8 : 27

したがって、それぞれの部分の体積は

P = 1, \quad Q = 8 - 1 = 7, \quad R = 27 - 8 = 19

P : Q : R = 1 : 7 : 19

検算: $1 + 7 + 19 = 27$ で、全体の $27$ とぴったり一致します。

(2) もとの円錐全体が比の $27$ にあたり、これが $540 \ \text{cm}^3$ です。比の $1$ あたりの体積は

540 \div 27 = 20 \ \text{cm}^3

R は比の $19$ にあたるから

20 \times 19 = 380 \ \text{cm}^3

検算: $P = 20 \ \text{cm}^3$ 、 $Q = 140 \ \text{cm}^3$ 、 $R = 380 \ \text{cm}^3$ で、合計 $20 + 140 + 380 = 540 \ \text{cm}^3$ となり、もとの体積と一致します。切り分けられた部分の体積は直接求めず、「頂点を含む相似な円錐の体積の差」として求めるのが鉄則です。

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問 14発展

$\triangle ABC$ の辺 $AB$ 上に $AD : DB = 1 : 2$ となる点 $D$ をとり、辺 $BC$ の中点を $E$ とする。線分 $AE$ と線分 $CD$ との交点を $P$ とする。
(1) $AP : PE$ を求めよ。
(2) $CP : PD$ を求めよ。

答え

(1) $AP : PE = 1 : 1$
(2) $CP : PD = 3 : 1$

解説

補助線として、点 $E$ を通り $CD$ に平行な直線をひき、辺 $AB$ との交点を $F$ とします。 $AD = k$ とおくと $DB = 2k$ です。

まず点 $F$ の位置を調べます。 $\triangle BCD$ において、 $E$ は辺 $BC$ の中点で、 $EF \parallel CD$ だから、三角形と比の定理の逆(中点連結定理の考え方)より、 $F$ は辺 $BD$ の中点です。よって

DF = FB = \frac{1}{2} \times 2k = k

さらに中点連結定理より

EF = \frac{1}{2} CD \ \text{…①}

(1) $\triangle AFE$ において、 $AD = k$ 、 $DF = k$ だから $D$ は辺 $AF$ の中点です。また $P$ は直線 $CD$ 上の点で $EF \parallel CD$ だから $DP \parallel FE$ 。 $D$ が $AF$ の中点で $DP \parallel FE$ なので、三角形と比の定理より $P$ は辺 $AE$ の中点になります。よって

AP : PE = 1 : 1

(2) $\triangle AFE$ で中点連結定理を使うと

DP = \frac{1}{2} EF

①を代入して

DP = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} CD = \frac{1}{4} CD

$P$ は線分 $CD$ 上にあるから

CP = CD - DP = CD - \frac{1}{4} CD = \frac{3}{4} CD

よって

CP : PD = \frac{3}{4} : \frac{1}{4} = 3 : 1

検算として座標で確かめます。 $A(0, \ 0)$ 、 $B(3, \ 0)$ 、 $C(0, \ 3)$ とすると $D(1, \ 0)$ 、 $E \left( \dfrac{3}{2}, \ \dfrac{3}{2} \right)$ 。直線 $AE$ は $y = x$ 、直線 $CD$ は $y = -3x + 3$ で、交点は $x = -3x + 3$ より $P \left( \dfrac{3}{4}, \ \dfrac{3}{4} \right)$ 。確かに $P$ は $AE$ の中点( $AP:PE = 1:1$ )で、 $CP:PD$ は $x$ 座標の増え方から $\dfrac{3}{4} : \dfrac{1}{4} = 3:1$ と一致します。

2本の線分の交点の比を求める問題では、「一方の線分に平行な補助線を、中点や分点からひく」のが定石です。中点連結定理が2回使える形を自分で作れるかどうかが勝負どころです。

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