練習問題

$\triangle ABC \backsim \triangle DEF$ で、$AB = 6$ cm、$BC = 8$ cm、$DE = 9$ cm、$\angle B = 80^\circ$ である。
(1) $\triangle ABC$ と $\triangle DEF$ の相似比を求めよ。
(2) $EF$ の長さを求めよ。
(3) $\angle E$ の大きさを求めよ。

$\triangle ABC$ と $\triangle DEF$ で、$AB = 4$ cm、$BC = 6$ cm、$\angle B = 70^\circ$、$DE = 6$ cm、$EF = 9$ cm、$\angle E = 70^\circ$ である。この2つの三角形が相似であることの根拠となる相似条件を答えよ。また、相似比を求めよ。

$\triangle ABC$ の辺 $AB$ 上に点 $D$、辺 $AC$ 上に点 $E$ があり、$DE \parallel BC$ である。$AD = 4$ cm、$DB = 2$ cm、$AE = 6$ cm、$BC = 9$ cm のとき、次の長さを求めよ。
(1) $EC$
(2) $DE$

$\triangle ABC$ の辺 $AB$、$AC$ の中点をそれぞれ $M$、$N$ とする。$BC = 12$ cm、$\angle ABC = 70^\circ$ のとき、線分 $MN$ の長さと $\angle AMN$ の大きさを求めよ。

ある晴れた日、身長 $1.6$ m の人の影の長さが $1.2$ m であった。同じ時刻に、木の影の長さは $7.5$ m であった。木の高さを求めよ。ただし、太陽光線は平行であるとし、人も木も地面に垂直に立っているものとする。

$\angle A = 90^\circ$ の直角三角形 $ABC$ で、頂点 $A$ から斜辺 $BC$ に垂線をひき、$BC$ との交点を $D$ とする。
(1) $\triangle ABC \backsim \triangle DBA$ であることを証明せよ。
(2) $AB = 6$ cm、$BC = 9$ cm のとき、$BD$ の長さを求めよ。

3つの平行な直線 $l$、$m$、$n$ に、2つの直線 $p$、$q$ が交わっている。
(1) 直線 $p$ が $l$ と $m$ の間で $6$ cm、$m$ と $n$ の間で $9$ cm に切り取られ、直線 $q$ が $l$ と $m$ の間で $x$ cm、$m$ と $n$ の間で $12$ cm に切り取られるとき、$x$ を求めよ。
(2) 直線 $p$ が $l$ と $m$ の間で $4$ cm、$m$ と $n$ の間で $y$ cm に切り取られ、直線 $q$ が $l$ と $m$ の間で $10$ cm、$m$ と $n$ の間で $15$ cm に切り取られるとき、$y$ を求めよ。

$AD \parallel BC$ の台形 $ABCD$ があり、$AD = 6$ cm、$BC = 10$ cm である。対角線 $AC$ と $BD$ の交点を $O$ とする。
(1) $AO : OC$ を求めよ。
(2) 点 $O$ を通り $BC$ に平行な直線が、辺 $AB$、$DC$ と交わる点をそれぞれ $E$、$F$ とするとき、$EF$ の長さを求めよ。

$\triangle ABC$ で $AB = 8$ cm、$AC = 6$ cm、$BC = 7$ cm とする。$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ との交点を $D$ とするとき、$BD$ と $DC$ の長さを求めよ。

四角形 $ABCD$ の辺 $AB$、$BC$、$CD$、$DA$ の中点をそれぞれ $P$、$Q$、$R$、$S$ とする。四角形 $PQRS$ は平行四辺形であることを証明せよ。

$\triangle ABC$ の辺 $AB$ 上に点 $D$、辺 $AC$ 上に点 $E$ があり、$DE \parallel BC$、$AD : DB = 2 : 1$ である。$\triangle ABC$ の面積が $36 \ \text{cm}^2$ のとき、次の面積を求めよ。
(1) $\triangle ADE$
(2) 台形 $DBCE$

平行四辺形 $ABCD$ の辺 $BC$ 上に点 $E$ があり、$BE : EC = 2 : 1$ である。線分 $AE$ と対角線 $BD$ との交点を $F$ とする。
(1) $\triangle FBE \backsim \triangle FDA$ であることを証明せよ。
(2) $BF : FD$ を求めよ。
(3) $\triangle FBE$ と $\triangle FDA$ の面積比を求めよ。

円錐を、底面に平行な2つの平面で高さを3等分するように切り、頂点側から順に立体 P、Q、R の3つの部分に分ける。
(1) P、Q、R の体積比を求めよ。
(2) もとの円錐の体積が $540 \ \text{cm}^3$ のとき、いちばん下の立体 R の体積を求めよ。

$\triangle ABC$ の辺 $AB$ 上に $AD : DB = 1 : 2$ となる点 $D$ をとり、辺 $BC$ の中点を $E$ とする。線分 $AE$ と線分 $CD$ との交点を $P$ とする。
(1) $AP : PE$ を求めよ。
(2) $CP : PD$ を求めよ。